SUBORATORY

복소평면 z = x+yi 에서의 선적분과 관련된 코시 적분에 대해 알아봅시다. ​ 1. Cauchy's Integral Theorem ​ 코시적분정리는 f(z)가 D에서 해석적이라면 Simple closed path C에 대한 선적분이 항상 0이 된다는 뜻입니다. 여기서 simple closed path 라는 것은 경로가 교차하거나 맞닿는 지점이 없는 것을 의미하고 simply connected domain 이라는 것은 구멍이 없는 영역이라고 생각하면 됩니다. 구멍이 없을 경우 하나의 선으로 연결된 영역이 됩니다. ​ ​ 코시적분정리에 따라 Simply connected domain 에서 Simple closed path C에 대한 아래 선적분들은 모두 0입니다. ​ ​ ​ 추가적으로 domain에 구멍..

1. 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann Equations) ​ z = x + yi 인 복소공간에서 f(z) = u(x,y) + i v(x,y) 가 연속이고 미분가능하면 u, v는 아래 방정식을 만족합니다. ​ ​ 위 방정식을 코시-리만 방정식이라 부릅니다. ​ 즉 f(z)가 정의역 D에서 해석적(analytic)이라면 D의 모든 점에서 f(z)의 편도함수가 존재하고 코시-리만방정식을 만족합니다. ​ ​ 2. 증명 ​ 복소함수는 어느 방향으로 Δz 를 잡더라도 미분계수가 존재할 때 미분가능합니다. ​ 따라서 x, y 두 방향으로의 f(z) 미분계수를 따져봅시다. ​ ​ Δx와 Δy를 이용해 f'(z)를 표현합니다. ​ 이때 1번 경로는 Δy=0 인 경우니까 1번 경로에 대한 임의의 점 z에서의..

#공업수학 ​ 오늘은 푸리에 급수 중 주어진 주기함수가 기함수 또는 우함수인 경우 분류되는 푸리에 사인 급수와 푸리에 코사인 급수에 대해서 알아봅시다. 선행되는 개념인 푸리에 급수는 아래 글 참조 바랍니다. ​subprofessor.tistory.com/8 [공업수학] 1. 푸리에 급수 (Fourier Series) ① 푸리에 급수란? 푸리에 급수(Fourier Series) 는 삼각함수들의 합으로 주기함수를 나타내는 방법이다. 나중에 푸리에 적분에서는 주기함수라는 조건이 무의미해지는 지경까지 이른다.(주기를 무한 subprofessor.tistory.com Definition 주기함수 f(x)에 대하여 다음 조건을 만족할 때 f(x)에 대한 푸리에 급수를 각각 푸리에 사인 급수(Fourier sine ..

가장 기본적인 편미분 방정식인 1차원 파동방정식을 공부해봅시다. 1차원 파동은 줄, 케이블과 같은 "선"의 움직임을 의미합니다. 이 글은 파동방정식의 유도부터 해를 구하는 과정까지 모두 다룹니다. ​ (i) 기본 가정 1차원 파동방정식을 수립하기 이전에 몇 가지 가정을 세우고 갑시다. 굵은 줄기만 다루기 위해 곁가지들을 치는 절차라고 생각하시면 됩니다. ​ 1. 줄은 완전한 탄성이며, 단위길이당 줄의 질량이 일정(mass per unit length is constant) 2. 중력의 작용 무시 3. 줄의 각 부분은 위아래로만 움직임 ​ 첫 번째 가정은 줄이 균일함을, 두 번째 가정은 말 그대로 중력의 작용을 무시한다는 내용을 담고 있습니다. 세 번째 가정은 줄의 각 부분이 위 아래만 움직인다는 것을 의..

​ 영어로는 "Differentiation and Integration of Transforms" ​ t-domain 함수 f(t)에 라플라스 변환을 취한 s-domain 함수 F(S). F(s)를 s에 대해 미분하거나 적분했을때 어떤 관계식이 성립하는지 알아봅시다 ​ ​ (i) Definition (1) 라플라스 변환의 미분 ​ ​ 라플라스 변환 F(s)에 대해 다음 관계식이 성립합니다. ​ ​ f(t)에 대한 라플라스 변환을 F(s)라 합시다 ​ 라플라스 변환의 정의에 따라 F(s)는 아래와 같이 이상적분으로 정의됩니다. ​ 양변을 s에 대해 미분하면 아래와 같은 관계식을 얻습니다. ​ 역변환을 취하면 다음과 같습니다. ​ ​ ​ (2) 라플라스 변환의 적분 ​ ​ f(t)에 대한 라플라스 변환 F(..

미분의 역연산이 되는 적분으로 이루어진 적분방정식을 알아봅시다. 더불어 라플라스 변환을 이용해 적분방정식의 해를 구해봅시다 ​ ​ (i) Definition 적분방정식의 형태 ​ ​ ​ 위 두 방정식처럼 해가 되는 함수인 y(t)의 적분형태가 포함된 방정식을 적분방정식이라고 합니다. 첫 번째 방정식의 경우 양변을 미분해서 해를 구하는 일반적인 미분방정식의 해를 구하듯 y(t)를 구할 수 있습니다. 그러나 두 번째 방정식의 경우 그게 불가능합니다. t로 미분을 해야 하는데 피적분함수 내에 t가 포함되어 있기 때문이죠. 이정도는 고등학교 미적분에서 다 배우는 상식.수준입니다. 아무튼 적분방정식의 형태는 위와 같습니다. ​ ​ ​ (ii) Application ​ 합성곱에 라플라스 변환을 취하면 아래와 같은 ..

#공업수학 Convolution으로 번역되는 합성곱에 대해서 알아봅시다. ​ ​ (i) Definition 합성곱의 정의 ​ 두 함수 f와 g에 대해 합성곱은 자를 사용해 표현하고, 아래와 같이 적분식으로 정의됩니다. ​ ​ 직관적으로 찾아내신 분도 계시겠지만, 합성곱은 교환법칙이 성립합니다. ​ 위 합성곱의 정의식에서 라고 u를 설정합니다. u로 설정함과 동시에 적분구간과 문자에 변화가 생깁니다. ​ ​ u와 t를 이용해 다시 정리하면 ​ ​ 합성곱 정의식의 τ(tau)가 u로 바뀐 것 빼고는 달라진 게 없죠? 즉 u를 다시 τ를 사용해서 표현해도 무방합니다. ​ ​ 이상의 결과를 정리하면 교환법칙이 성립함을 알 수 있습니다. ​ ​ ​ (ii) Application ​ 합성곱에 라플라스 변환을 취하면..

​ Dirac delta function. 6.4는 디랙 델타 함수에 대한 내용입니다. 먼저 디랙 델타 함수의 정의를 봅시다 ​ (i) Definition ​ t=a라는 임의의 점에서 함숫값이 매우 큰 함수를 디랙 델타 함수라고 합니다. 짧은 시간 안에 강한 임펄스가 가해진다는 뜻에서 Short Impluse 라고도 합니다. unit step function과 유사하게 unit impulse function 라는 이름도 가지고 있습니다. ​ 디랙 델타 함수는 여러 근사 표현을 가지고 있는데, 공업수학에서는 그중 가장 간단한 표현을 사용합니다 ​ 위와 같이 fk(t-a)를 설정한 후 극한을 취해 디랙 델타 함수를 표현할 수 있습니다. ​ ​ k의 값에 관계 없이 fk(t-a)와 t축이 이루는 면적은 항상 ..

이전에 포스팅한 라플라스 변환은 f(t)에 관한, 즉 일변수 t에 대한 상미분방정식을 풀기 위한 해법으로써 소개되었다. 대수방정식을 거쳐 해를 구한다는 다소 편리한 이 라플라스 변환은 상미분방정식을 넘어 편미분방정식에도 적용될 수 있다(!). ​ ​ 편미분방정식을 라플라스 변환으로 풀기 위해서는 몇가지 기본전제(지식)가 필요하다. ​ 1. 본 포스팅에서 다뤄지는 함수 w는 모두 이변수 함수 w(x,t)이다. 2. 라플라스 변환 시 적분은 한 문자에 대해서만 수행된다. 3. 역변환 또한 한 문자에 대해서만 수행된다. 4. W(x,s)는 함수 w(x,t)에 라플라스 변환을 수행한 함수이다. ​ 편미분방정식에서 주의해야 할 것은 변수의 혼동이다. 라플라스 변환을 수행할 때 x와 t가 아무 관계 없는 독립변수이..

완전미분방정식이 무엇인지, 어떻게 판별하는지, 어떻게 푸는지에 대해서는 아래 링크를 참조바랍니다. 풀이과정이 다소 길고 복잡하기 때문에 예제 파트를 따로 나누었습니다. 이번 포스팅에서는 네 개의 미분방정식 예제를 소개하는데, 이를 통해 완전미분방정식에 대한 감이 잡히길 바랍니다..! blog.naver.com/subprofessor/222094820066 (예제 1) 다음 미분방정식의 완전성을 검사하여라 dx앞에 있는 놈들을 y에 대해 편미분해주고, dy앞에 있는 놈들을 x에 대해 편미분해줍니다. 음! 뭔가 둘이 안맞네 하죠? 맞아요 완전미분방정식이 아닙니다. 이런 간단한 문제가 시험에 나올 일은 없지만 만약 나온다면 저는 이렇게 답안을 작성할 것 같네요 해당 미분방정식에 대해 완전성 검사를 시행한 결과..