[공업수학] 10. 라플라스 변환의 미분과 적분

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   영어로는 "Differentiation and Integration of Transforms"

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   t-domain 함수 f(t)에 라플라스 변환을 취한 s-domain 함수 F(S). F(s)를 s에 대해 미분하거나 적분했을때 어떤 관계식이 성립하는지 알아봅시다

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(i) Definition

 

(1) 라플라스 변환의 미분

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라플라스 변환 F(s)에 대해 다음 관계식이 성립합니다.

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<증명>

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f(t)에 대한 라플라스 변환을 F(s)라 합시다

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라플라스 변환의 정의에 따라 F(s)는 아래와 같이 이상적분으로 정의됩니다.

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양변을 s에 대해 미분하면 아래와 같은 관계식을 얻습니다.

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역변환을 취하면 다음과 같습니다.

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(2) 라플라스 변환의 적분

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f(t)에 대한 라플라스 변환 F(s)은 다음 관계식을 만족합니다. s~는 문자의 혼동을 피하기 위해 사용한 것입니다. 합성곱 포스팅에서 나온 τ(tau)와 같은 역할입니다.

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<증명>

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이것 또한 라플라스 변환의 정의를 이용해 유도할 수 있습니다.

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정의에 따라 F(s~)을 정적분 형태로 전개하면 아래와 같습니다.

 

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이중적분 형태로 정리되는데, 구간을 바꿔도 무방합니다. 해서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

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안쪽에 있는 s~부터 적분해줍니다

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따라서 다음과 같이 정리되며

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식이 유도됩니다

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(ii) Application

미분 공식과 적분공식은 일반적인 라플라스 변환을 취하기 어려운 f(t)에 대해 변환을 수행하거나, 주어진 F(s)를 미분하여 보다 쉽게 역변환을 구하는 용도로 사용됩니다.

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예제 1 : 다음 f(t)에 대하여 라플라스 변환을 구하여라

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두 가지 방법으로 라플라스 변환을 구해보겠습니다. 첫 번째 방법은 s-shifting을 이용한 방법입니다. e^kt가 곱해져있으니, t^n 의 라플라스 변환에 s-shifting theorem 을 적용해주면 됩니다.

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혼동이 없도록 g(t)를 설정해주겠습니다.

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두 번째 방법은 오늘 배운 F(s)의 미분 공식을 사용하는 것입니다.

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이번에는 t^n이 아니라 e^kt에 포커스를 맞춥니다.

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양변을 미분합니다. 미분 공식에 의해 아래와 같은 관계식을 얻습니다.

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한 번 더 미분해줍시다.

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이에, F(s)를 s에 대해 n번 미분하면 아래와 같은 관계식이 성립함을 알 수 있습니다.

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우리가 구하고자 하는 t^n e^kt에 대해 정리합시다

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이제 F(s)를 n번 미분한 결과를 대입해주면 끝나겠지요

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마찬가지로 n번 미분해준 결과를 정리합시다

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(-1)이 두개 곱해져 있으니, 모든 n에 대하여 상쇄됩니다. 따라서 다음과 같이 라플라스 변환이 이루어짐을 알 수 있습니다.

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예제 2 : 다음 F(s)에 대하여 라플라스 역변환을 구하여라

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먼저 F(s)를 미분하기 쉬운 형태로 바꾸겠습니다.

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s에 대해 양변을 미분합니다

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양변에 역변환을 취하면 다음과 같습니다.

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이때, 미분공식에 의하여 다음이 성립합니다

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따라서 F(s)의 역변환은 다음과 같습니다.

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