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#선형대수학 선형방정식에 대해 두 글에 걸쳐서 알아봤는데 이번에는 직접 선형방정식을 풀어보는 시간을 가져봅시다. 예제와 함께 풀이가 나와있긴 하지만 직접 풀고 풀이를 확인하는 것을 추천합니다 ​ ​ ​ (예제 1) 첨가행렬로 표현된 아래 선형방정식계의 해를 구해라 ​ ​ ​ ​ ​ 먼저 첨가행렬을 Echelon form으로 바꾸어야 합니다 ​ 두 번째 행 중 가장 왼쪽에 위치한 항이 0이 되도록(정확히는 첫 번째 행에 위치한 leading entry 아래가 0이 되도록) 첫 번째 행에 -3을 곱한 것과 두 번째 행을 더하는 ERO(기초 행 연산, Elementary Row Operation)을 수행합시다 Replacement ​ ​ ​ ​ ​ 해를 구하기 위해서는 행렬을 Echelon form 다음 Re..

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출 ​ ​ 공업수학 과목에 속한 미분방정식 문제가 나왔습니다. ​ 1. Main Concept 미분방정식 중에서도 1계 상미분 방정식 단원의 "완전미분방정식"(Exact ODE)이 출제되었습니다. ​ 완전미분방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다. ​ ​(1) 완전성 검사 : M을 y에 대해 편미분한 것과 N을 x에 대해 편미분한 것을 비교한다. (2) u = int(M) dx +k(y) 로 설정. 또는 u = int(N)dy + k(x) 로 설정. (3) u의 편도함수가 N임을 (M임을) 이용해 k(y) 또는 k(x)를 결정한다. (4) u = C꼴의 해를 정리한다. ​ 만약 (1) 완전성 검사(test exactness)를 수행했는데 양변이 다르다면 적분인자를 구해..

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출 ​ ​ 선형대수학 과목에 속한 행렬식 문제가 나왔습니다. ​ 1. Main Concept 행렬식의 성질을 이용해 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 문제가 출제되었습니다. ​ 연립방정식의 해를 구할 때 처음 등장한 기초 행연산(기본행연산; Elementary Row Operation)이죠 기존의 행렬을 A, 기초행연산을 수행한 행렬을 B라고 하면 다음 관계가 성립합니다 ​ (1) 은 두 행의 위치를 바꾸는 interchange (2) 은 한 행에 상수를 곱해 다른 행에 더하는 replacement (3) 은 한 행에 상수배를 곱하는 scaling ​ ​ ​ ​ ​ 2. Problem 이 문제는 거기에 더해 "삼각행렬의 행렬식"이라는 개념이 추가되었습니다. ​ 왼쪽..

#공업수학 #미적분학 오늘은 푸리에 급수전개를 구하는 몇 가지 예제를 풀어봅시다 목차 0. Intro 1. Definitions 2. Examples 3. Summary ​ https://blog.naver.com/subprofessor/222150692985 [미분적분학] 푸리에 급수 (Fourier Series) #미분적분학 사실 Erwin O. Kreyszig의 공업수학에 나오는 내용이지만 너무 AWESOME한 개념이기... blog.naver.com 푸리에 급수란, 주기함수를 삼각함수들의 합으로 나타낸 것을 말합니다. 테일러 급수와 같이 함수 f(x)를 기본적인 함수들로 쪼개어 나타내는 것인데, 푸리에 급수는 "주기 함수"를 대상으로 한다는 특징이 있습니다. https://blog.naver.co..

#선형대수학 > 미리보기 ​ ​ ​ ​ 1. Approximation of Eigenvalues 행렬의 거듭제곱(power method)을 계산하여 고유값의 근사치를 구할 수 있습니다. ​ Xm이 행렬의 거듭제곱과 어떤 벡터 X0의 곱으로 정의될 때 ​ 고유값은 다음과 같이 근사할 수 있습니다. 위 식의 우변을 Rayleigh quotient라 부릅니다. ​ 예시로 아래와 같은 2x2 행렬을 봅시다. ​ 먼저, 임의의 X0를 설정합니다. 통상적인 고유값 계산 과정은 행렬식을 이용하는 것이지만 우리는 다른 방법으로 고유값의 근사치를 구할 것입니다. ​ 연산이 많으니 가급적 간단한 X0를 사용하는 것이 좋겠죠? ​ ​ 다음으로 행렬의 거듭제곱을 사용해 적당히 큰 Xm을 얻습니다. ​ ​ 이를 반복해 X7까지..

#선형대수학 2차원 평면에서 반시계방향으로 θ만큼 회전한 회전행렬은 다음과 같이 표현된다 ​ ​ 열벡터 형태로 표시된 [x,y]를 이 행렬에 곱하면 반시계방향으로 θ만큼 회전이 된다. ​ 여기서 [x,y]가 의미하는 것은 점이 될 수도 있고, 도형이 될 수도 있다. ​ ​ ​ ​ 이것을 사용해 이차곡선을 회전시킬 수도 있다. ​ ​ 위 타원을 반시계방향으로 45도 회전한 도형의 방정식을 구해보자 ​ 먼저 회전행렬을 정의하고 ​ 그 다음 회전 변환 식을 이용해 ​ x', y' 에 대한 식을 얻는다. ​ 우리가 가지고 있는 것은 x, y에 대한 관계식(타원의 방정식)이므로 ​ x와 y에 대해 식을 정리해서 넣어주자 ​ ​ 타원에 방정식에 정리한 x, y를 넣어주고 정리하면 ​ 아래와 같은 식을 얻는다. ​ ..

#편입수학 ​ ​ 건국대학교 입학처에 게시되어 있는 2023학년도 자연계 기출문제입니다. ​ 문제를 빠르게 풀어나가기 위해서는 어떤 개념으로 구성된 문제인지를 빠르게 파악해야 합니다. 편입시험에서는 메인이 되는 개념 한 가지를 중심으로 문제를 구성하기 때문에 중심이 되는 키워드를 파악하는 것이 중요합니다. ​ 이 문제의 는 "접선"입니다. vector calculus 단원의 parametric curve 에 속하는 문제이며 평면과 평행이라는 기초개념이 으로 제시되었습니다. ​ ​ ​ > 매개변수 곡선의 접선 기본적으로 접선은 직선이기 때문에 3차원 상에서 직선의 방정식 표현부터 떠올려봅시다. ​ 여기서 (x1, y1, z1)는 직선이 지나는 점을, (a,b,c)는 직선의 방향벡터입니다. ​ 접선의 경우 ..

#편입수학 ​ ​ ※ 중앙대 2023학년도 편입 기출입니다 ​ 곡선과 점 사이의 최소 거리는 라그랑주 승수법으로 구할 수 있습니다. ​ https://blog.naver.com/subprofessor/222590371392 [미분적분학] 라그랑주 승수법 예제 #미분적분학 #라그랑주승수법 라그랑주 승수법에 대해 알아보고 예제를 풀어봅시다. 1. 라그랑주 승수법(L... blog.naver.com ​ 거리 문제의 포인트는 다음 세 가지 입니다. (1) 목적함수를 "거리의 제곱"으로 두기 (2) 케이스 누락되지 않도록 (3) 보기를 통해 눈치로 케이스 좁히기 ​ ​ 라그랑주 승수법을 통해 최대, 최소를 구하는 방법은 다음과 같습니다. (1) 목적함수 f(x,y) 와 제약조건 g(x,y) 정리 (2) 함수 L ..

#선형대수학 #공업수학 ​ ​ Contents - Eigenvalue(고윳값 또는 고유치) & Eigenvector - Diagonalization - Spectral Decomposition ​ ​ ​ ​ 1. Eigenvalue & Eigenvector 고윳값(또는 고유치)과 고유벡터는 정방행렬 A(square matrix, n x n)에 대해 아래 식을 만족하는 상수 λ(lambda, 람다)와 그에 대응되는 영벡터가 아닌 벡터 v를 말한다. ​ * 고유벡터는 0이 아니어야 하지만 고윳값은 0일 수 있다. * 각 고유벡터는 앞서 구한 고윳값에 "대응"된다. ​ 위 정의식을 조금 변형하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다. ​ 세 번째 줄의 행렬 방정식(벡터 v에 대한 방정식)이 0이 아닌 해를 가져야..

#수치해석 반복법(Iterative Methods)은 연립방정식을 풀기 위한 방법의 일종으로 행렬연산이나 가우스 소거법과는 다른 방식으로 해를 구합니다. 이 게시글은 두 가지 반복법 가우스-자이델 방법(Gauss-Seidel Method)과 야코비 반복법(Jacobi Iteration)을 소개합니다. ​ ​ 1. Gauss-Seidel Method ​ 아래와 같이 행렬로 표현된 연립방정식이 있습니다. ​ 각 행이 의미하는 바는 다음과 같습니다. ​ 위 식에서 각각 x1, x2, x3에 대해정리하면 다음과 같습니다. ​ 가우스-자이델 방법은 위 식들의 우변에 각각 "직전 단계에서 업데이트된 x1, x2, x3"를 대입하는 것입니다. ​ ​ (예제 1) 가우스-자이델 방법을 사용하여 연립방정식의 해를 구하여..