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#선형대수학 선형방정식에 대해 두 글에 걸쳐서 알아봤는데 이번에는 직접 선형방정식을 풀어보는 시간을 가져봅시다. 예제와 함께 풀이가 나와있긴 하지만 직접 풀고 풀이를 확인하는 것을 추천합니다 ​ ​ ​ (예제 1) 첨가행렬로 표현된 아래 선형방정식계의 해를 구해라 ​ ​ ​ ​ ​ 먼저 첨가행렬을 Echelon form으로 바꾸어야 합니다 ​ 두 번째 행 중 가장 왼쪽에 위치한 항이 0이 되도록(정확히는 첫 번째 행에 위치한 leading entry 아래가 0이 되도록) 첫 번째 행에 -3을 곱한 것과 두 번째 행을 더하는 ERO(기초 행 연산, Elementary Row Operation)을 수행합시다 Replacement ​ ​ ​ ​ ​ 해를 구하기 위해서는 행렬을 Echelon form 다음 Re..

#선형대수학 2차원 평면에서 반시계방향으로 θ만큼 회전한 회전행렬은 다음과 같이 표현된다 ​ ​ 열벡터 형태로 표시된 [x,y]를 이 행렬에 곱하면 반시계방향으로 θ만큼 회전이 된다. ​ 여기서 [x,y]가 의미하는 것은 점이 될 수도 있고, 도형이 될 수도 있다. ​ ​ ​ ​ 이것을 사용해 이차곡선을 회전시킬 수도 있다. ​ ​ 위 타원을 반시계방향으로 45도 회전한 도형의 방정식을 구해보자 ​ 먼저 회전행렬을 정의하고 ​ 그 다음 회전 변환 식을 이용해 ​ x', y' 에 대한 식을 얻는다. ​ 우리가 가지고 있는 것은 x, y에 대한 관계식(타원의 방정식)이므로 ​ x와 y에 대해 식을 정리해서 넣어주자 ​ ​ 타원에 방정식에 정리한 x, y를 넣어주고 정리하면 ​ 아래와 같은 식을 얻는다. ​ ..

#선형대수학 #공업수학 ​ ​ Contents - Eigenvalue(고윳값 또는 고유치) & Eigenvector - Diagonalization - Spectral Decomposition ​ ​ ​ ​ 1. Eigenvalue & Eigenvector 고윳값(또는 고유치)과 고유벡터는 정방행렬 A(square matrix, n x n)에 대해 아래 식을 만족하는 상수 λ(lambda, 람다)와 그에 대응되는 영벡터가 아닌 벡터 v를 말한다. ​ * 고유벡터는 0이 아니어야 하지만 고윳값은 0일 수 있다. * 각 고유벡터는 앞서 구한 고윳값에 "대응"된다. ​ 위 정의식을 조금 변형하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다. ​ 세 번째 줄의 행렬 방정식(벡터 v에 대한 방정식)이 0이 아닌 해를 가져야..

#선형대수학 ​ 1. Introduction 최소제곱법은 주어진 데이터와의 오차를 최소화하는 직선을 구하는 방법입니다. ​ ​ ​ 위 그림은 주어진 5개의 데이터에 대해 두 개의 점을 지나며 오차를 줄이는 적당한 직선(linear function)을 그린 것입니다. ​ 그러나 몇 개의 점을 지난다고 해서 오차를 완벽히 줄일 수 있는 것은 아닙니다. ​ ​ ​ ​ 2. Sum of the square errors ​ ​ 위 그림은 주어진 데이터(xi, yi)에 대해 그린 직선 y = f(x) 과의 오차 ei를 시각적으로 표현하였습니다. ei 는 yi 에서 선형함수의 함숫값 f(xi) 을 뺀 것의 절댓값으로 정의됩니다. ​ ​ y = f(x)가 y = ax + b 형태로 표현된다고 합시다. ​ 이때 erro..

#선형대수학 ​ ​ 고윳값과 고유벡터에 대한 내용은 아래 글 참조 바랍니다 https://subprofessor.tistory.com/58 [선형대수학] 고윳값, 고유벡터, 고유공간 (Eigenvalue, Eigenvector, Eigenspace) #선형대수학 ​ ​ 1. 고윳값과 고유벡터의 정의 n x n 행렬 A에 대해 위 등식을 만족하는 λ(lambda)와 x를 각각 고윳값(Eigenvector), 고유벡터(Eigenvector)라 합니다 ​ ​ 위와 같은 2 x 2 행렬을 생각해봅. subprofessor.tistory.com https://subprofessor.tistory.com/57 [선형대수학] 특성방정식, 고윳값과 고유벡터 구하기 #선형대수학 ​ 1. 특성방정식 (Characteris..

그람-슈미트 과정은 임의의 벡터 집합으로부터 직교집합(Orthogonal set)을 구하는 과정입니다. 원래 가지고 있던 벡터 집합의 직교성 유무와 관계없이 한 벡터를 다른 벡터에 사영(projection)시킨 것을 이용해 직교집합을 구할 수 있습니다. ​ ​ ​ 1. 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmidt Process) ​ 그람-슈미트 과정의 정의는 다음과 같습니다. ​ 부분합 기호(시그마)를 이용해 나타내면 다음과 같습니다. ​ 부분공간 W를 이루는 기저를 직교기저(Orthogonal basis)로 변환하는 것이 그람-슈미트 과정의 의의입니다. 이때 그람-슈미트 과정을 수행하기 전의 기저와 수행하고 난 이후의 기저가 이루는 생성집합(span)은 각각 부분공간 W와 같습니다. ​ ​ ​ ​ 2. ..

#선형대수학 ​ 크래머 공식은 Ax=b 형태의 방정식을 푸는 일종의 도구이며, 역행렬 개념을 포함합니다 ​ 1. 크래머 공식 (Cramer's Rule) 크래머, 크레이머, 크라메르 등으로 불리는 이 공식은 많은 공대생들의 모근을 말려 죽이고 있습니다. 공식 자체를 이해하는 건 어렵지 않은데 수많은 행렬식 계산을 요구해 골머리를 앓게 하는 몹쓸 녀석으로 간주되곤 합니다 ​ 크래머 공식은 n x n 행렬 A의 i 번째 열을 n x 1 열벡터 b로 치환한 Ai(b)를 정의하는 것으로부터 시작합니다 ​ ​ For any n x n matrix A and any b in R^n, let Ai(b) be the matrix obtain from A by replacing column i by the vector ..

#선형대수학 1. 특성방정식 (Characteristic Equation) ​ 특성다항식(Characteristic Polynomial)이라고도 하는데, 행렬의 고윳값을 구하기 위한 도구입니다 ​ ​ ​ 위 식을 특성방정식이라 부르는데, 유도 과정은 다음과 같습니다 ​ ​ 3 x 3 행렬 A를 봅시다 ​ 고윳값 λ가 존재한다면 다음 등식에서 0이 아닌 해 x가 존재합니다 ​ 이때 우변에 존재하는 고윳값과 항등행렬(Identity matrix)의 곱을 생각해봅시다 ​ 고윳값 λ와 x 사이에 항등행렬을 끼워넣어 계산하면 우변은 다음과 같습니다 ​ 즉 다음과 같이 표현할 수 있구요 ​ ​ 좌변으로 몰아 정리합니다 ​ 고윳값과 고유벡터의 정의에 의해 위 등식에서 영벡터가 아닌 해(nontrivial soluti..

#선형대수학 ​ ​ 1. 고윳값과 고유벡터의 정의 n x n 행렬 A에 대해 위 등식을 만족하는 λ(lambda)와 x를 각각 고윳값(Eigenvector), 고유벡터(Eigenvector)라 합니다 ​ ​ 위와 같은 2 x 2 행렬을 생각해봅시다 ​ 벡터 x1이 (1,2)로 주어질 때 이것이 고유벡터임을 보이는 과정입니다 ​ 행렬 A와 열벡터 x1의 곱은 다음과 같습니다 ​ 위 계산결과는 벡터 x1의 상수배이므로 아래 등식이 성립합니다 ​ 따라서 x1은 행렬 A의 고유벡터이며 이 경우 고윳값은 -1입니다 ​ ​ 이번에는 같은 행렬 A에 대해 고윳값이 주어졌을 때 고유벡터를 구하는 예제를 보겠습니다 ​ 행렬 A의 다른 고윳값이 2라고 주어졌습니다 ​ 고유벡터 x2를 다음과 같이 설정합니다 ​ 그럼 고유벡..

#선형대수학 ​ 크래머 공식은 Ax=b 형태의 방정식을 푸는 일종의 도구이며, 역행렬 개념을 포함합니다 ​ 1. 크래머 공식 (Cramer's Rule) 크래머, 크레이머, 크라메르 등으로 불리는 이 공식은 많은 공대생들의 모근을 말려 죽이고 있습니다. 공식 자체를 이해하는 건 어렵지 않은데 수많은 행렬식 계산을 요구해 골머리를 앓게 하는 몹쓸 녀석으로 간주되곤 합니다 ​ 크래머 공식은 n x n 행렬 A의 i 번째 열을 n x 1 열벡터 b로 치환한 Ai(b)를 정의하는 것으로부터 시작합니다 ​ ​ For any n x n matrix A and any b in Rn, let Ai(b) be the matrix obtain from A by replacing column i by the vector b..