SUBORATORY

#편입수학 ​ ​ 건국대학교 입학처에 게시되어 있는 2023학년도 자연계 기출문제입니다. ​ 문제를 빠르게 풀어나가기 위해서는 어떤 개념으로 구성된 문제인지를 빠르게 파악해야 합니다. 편입시험에서는 메인이 되는 개념 한 가지를 중심으로 문제를 구성하기 때문에 중심이 되는 키워드를 파악하는 것이 중요합니다. ​ 이 문제의 는 "접선"입니다. vector calculus 단원의 parametric curve 에 속하는 문제이며 평면과 평행이라는 기초개념이 으로 제시되었습니다. ​ ​ ​ > 매개변수 곡선의 접선 기본적으로 접선은 직선이기 때문에 3차원 상에서 직선의 방정식 표현부터 떠올려봅시다. ​ 여기서 (x1, y1, z1)는 직선이 지나는 점을, (a,b,c)는 직선의 방향벡터입니다. ​ 접선의 경우 ..

#미분적분학 이 글에서 다루는 삼각함수 적분은 다음과 같습니다. ​ 삼각함수의 거듭제곱과 곱해져있는 함수들의 적분을 다룹니다.​​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 1. (sin x)^n, (cos x)^n ​ ​ (1) n이 짝수인 경우 : 반각 공식을 사용해서 차수를 계속해서 내립니다. ​ 예시로 (sin x)^4 를 봅시다​​ ​ ​ ​ (sin x)^6도 마찬가지로 풀되, cos x 의 홀수 승의 적분에 대해서는 이 다음에 나오는 내용을 참고합시다. ​ ​ (2) n이 홀수인 경우 : 하나만 남기고 나머지를 모두 바꾼 후(sin은 cos으로, cos은 sin으로) 치환적분을 사용합니다. ​ 아래 삼각함수 성질을 이용합니다. ​ (cos x)^5을 예시로 보겠습니다. ​ ​ ​ 2. (sin x)^m (cos ..

#미분적분학 #미적분학 Calculus: Early Transcendentals James Stewart's CALCULUS texts are widely renowned for their mathematical precision and accuracy, clarity of exposition, and outstanding examples and problem sets. Millions of students worldwide have explored calculus through Stewart's trademark style, while instructors have turned to his approach time and time again. In the Eighth Edition of CALCULUS..

#미분적분학 ​ 1. Definition 다변수함수에서 x, y, z 에 대한 편미분도 가능하지만 임의의 벡터를 기준으로 도함수를 구할 수도 있습니다. 이것을 방향도함수(Directional Derivative)라 부르며 다음과 같이 정의됩니다. ​ ​ ​ ​ 점 P에서 f(x,y,z)의 벡터 b 방향으로의 방향도함수 Dbf 또는 df/ds 는 식 (2)와 같이 정의됩니다. 이때 Q는 P를 지나며 b를 방향벡터로 갖는 직선 L에서 P로 다가가는 움직이는 점이고 s는 P와 Q사이의 거리입니다. ​ ​ ​ 방향도함수의 계산은 gradient 를 이용합니다. 이때 b는 단위벡터입니다. ​ ​ 임의의 크기를 가지는 벡터에 대한 방향도함수의 계산은 벡터의 크기로 나누어주는 것으로 정의됩니다. ​ ​ ​ ​ ​ 다..

1. 일변수함수의 극대, 극소 다변수함수를 살펴보기 전에 일변수함수에서의 극대, 극소를 살펴봅시다 ​ ​ ​ 미분가능한 함수에 대해서 극값이 존재하는 조건은 f'(x)=0 이고 f''(x)>0 또는 f''(x)0 이기 때문에 극소입니다. ​ y=x3의 경우 x=0에서 f'(x)=0이지만 f''(x) 또한 0이기 때문에 극값을 갖지 않습니다. x=0은 변곡점(Inflection Point)이라고 부릅니다. ​ 2. 다변수함수의 극대, 극소, 안장점 ​ 위 그림에서 z=f(x,y)라 하면 f(x,y)는 x=1, y=3 에서 극솟값 4를 가짐을 볼 수 있습니다. f(x,y)는 x=1, y=3 에서 x의 편도함수 fx와 y의 편도함수 fy가 모두 0임을 확인할 수 있습니다. f(x,y)의 편도함수 ​ 그러나 다..

그린정리는 폐곡선 C를 경로로 취하는 선적분(Line Integral)과 C로 둘러싸인 영역 D의 중적분(Double Integral) 간의 관계를 부여하는 정리라고 할 수 있습니다. 정리를 소개하기 이전에 곡선 C의 양의 방향(positive orientation)을 시계반대방향(counterclockwise, CCW)으로 정의하겠습니다. ​ 1. 그린정리 (Green's Theorem) ​ 그린정리는 폐곡선 C에 대한 정리이기 때문에 보통 아래와 같은 식으로 그린정리를 소개합니다. D는 앞서 소개했듯이 C로 둘러싸인 영역입니다. ​ ​ 그린정리를 간단히 설명하자면 다음과 같습니다. ​ 곡선 C가 매끄럽고 양의 방향을 가지며 평면 상의 폐곡선일 때 C로 둘러싸인 영역을 D라고 하자. 이때 F = 로 표..

#미분적분학 ​ ​ 다변수함수의 편미분을 할 때, z=f(x,y)의 간단한(비교적..) 형태면 편도함수를 쉽게 구할 수 있지만 x=x(t) 또는 y=y(u,v)와 같이 z를 구성하는 변수가 또다른 변수로 구성된 경우 연쇄법칙을 적용해야만 올바른 편도함수를 구할 수 있습니다. 연쇄법칙의 정의와 간단한 다이어그램을 그려 문제를 쉽게 풀 수 있는 방법을 알아봅시다 ​ 1. 다변수함수의 편미분 ​ 다음의 z=f(x,y) 이변수함수에 대해 편도함수의 표현들은 아래와 같습니다 ​ 1계 편도함수 ​ 2계 편도함수 ​ fxy, fyx 가 모두 연속이면 아래 두 편도함수는 같습니다 (fxy = fyx , 클레로 정리) ​ ​ 표현은 저렇고, 일변수함수의 미분처럼 슉슉 계산해주면 됩니다 ​ 정의에 대한 편도함수의 계산은 ..

특이적분이라고도 부르는 improper integral. 직역하면 "적절하지 않은 적분"? 입니다. 어떤 게 적절하냐 하면 바로 적분구간. 이 적절하지 않은 정적분들을 통틀어 improper integral이라 합니다. 이를테면 1/x를 -1부터 1까지 적분한다던지? ​ 적분구간이 "함숫값이 정의되지 않는 점"을 포함하거나 "끝값이 불연속"일 경우 이상적분으로 분류됩니다 ​ (i) DEFINITION : Improper Integral f(x)=1/x의 경우 x=0에서 함숫값이 정의되지 않습니다. 이런 함수까지 정적분을 할 수 있도록 하는 새로운 정의가 바로 "Improper Integral"이다. 함숫값이 정의되지 않는 점이 구간에 포함될 경우 이상적분의 정의를 봅시다 ​ ​ 아직 조금 생소하지요? 예..

많은 학생들이 급수의 수렴/발산에 대해 질문합니다. 그다지 어려운 문제들이 아닌데도 아예 감을 잡지 못하고 가져오는 모습을 보면 참.. 슬퍼요.. 남들이 떠먹여주는 공부만 주구장창 해와서 그런가 스스로 배워야 하는 공부를 어떻게 해야 하는지 감조차 잡지 못한 것 같아요. 이게 사교육의 폐해인가.. 싶기도 합니다. 지난 번에 교대급수 판정법에 대해 포스팅했는데, 정의를 익히고 그대로 문제에 적용하면 된다고 했는데요, 급수의 수렴/발산 문제는 다 그런 식으로 풀어주시면 됩니다 :) ​ Ratio Test는 급수의 수렴/발산을 판정하는 여러 판정법 중 간단한 편에 속합니다. 먼저 정의부터 확인합시다 (i) DEFINITION : Ratio Test ​ 비판정법의 정의는 참 간단합니다. 그런데 그냥 수렴이 아니..

중적분은(double integral)은 기본적으로 주어진 영역 R에서 수행되는 계산이다. 이 영역 R의 x범위, y범위를 구하고 dxdy 또는 dydx 로 미분소 dA를 치환해 계산한다. ​ 그러나 가끔 x와 y의 범위로 깔끔하게 나타내기 어려운 경우가 있다. 원이나 이차곡선 영역이 대표적인 예고, 아래와 같은 형태의 영역도 해당된다. ​ ​ ​ ​ 이럴 때면 일반 1차원 정적분의 치환적분과 비슷한 개념으로 변수를 바꿀 수 있는(chage of variables) 유용한 도구 "Jacobian"을 떠올리자. 한국어로는 야코비안으로도 번역되는데 이 Jacobian은 치환적분시 dx 가 dt로 바뀌는 과정 중 dt에 해당하는 느낌이다. Jacobian의 정의와 이를 이용한 중적분 계산을 간단히 살펴보고 바..