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#이상적분 ​ 특이적분이라고도 부르는 improper integral. 직역하면 "적절하지 않은 적분"? 입니다. 어떤 게 적절하냐 하면 바로 적분구간. 이 적절하지 않은 정적분들을 통틀어 improper integral이라 합니다. 이를테면 1/x를 -1부터 1까지 적분한다던지? ​ 적분구간이 "함숫값이 정의되지 않는 점"을 포함하거나 "끝값이 불연속"일 경우 이상적분으로 분류됩니다 ​ (i) DEFINITION : Improper Integral f(x)=1/x의 경우 x=0에서 함숫값이 정의되지 않습니다. 이런 함수까지 정적분을 할 수 있도록 하는 새로운 정의가 바로 "Improper Integral"이다. 함숫값이 정의되지 않는 점이 구간에 포함될 경우 이상적분의 정의를 봅시다 ​ ​ 아직 조금 ..

#미분적분학 ​ Trigonometric Subtitution, 삼각치환법으로 번역되는 AWESOME한 적분 Tool을 알아봅시다. 삼각치환법은 기본적으로 치환적분의 개념을 기초로 하기 때문에 필요하신 분은 치환적분 공부를 더 하고 오시길 바랍니다. ​ 어떻게 풀어야 할까? 위와 같은 형태의 적분을 쉽게 계산할 수 있도록 해주는 Tool 이 바로 삼각치환법입니다. Table 먼저 볼게요 ​ ​ ​ 적분할 함수에 왼쪽 "치환할 함수" 쪽에 있는 함수가 보이면 그에 대응되는 오른쪽의 "치환 형태"에 따라서 치환해주면 됩니다 ​ ​ ​ (예제 1) 다음 부정적분을 구하여라 · · · ​ ​ 처음 주어진 식은 x에 대한 식이었습니다. 따라서 θ을 다시 x로 변환해주면 다음과 같습니다 ​ ​ 이런 느낌으로 치환해..

테일러 급수전개 ​ 테일러 급수전개는 미분방정식을 공부하면서도 나오는 내용이고, 어떤 값을 근사하는 데도 사용되는 유용한 Tool이다. 계산기에는 이 테일러 급수전개 꼴로 수식이 들어가있어, 우리가 원하는 값을 근사적으로 계산해준다고 한다. 예를 들어 의 값을 계산기에게 물어보면 계산기는 다음과 같은 계산을 실행한다. ​ (i) 테일러 급수 전개 Basic Concept는 "미분 가능한 함수를 급수의 형태로 나타내보자"이다. 갑자기 왜 급수의 형태로 나타내는거냐고 묻지말고 그냥 그렇게 해보고 싶었나보다 하고 넘어가라. 위대한 발견은 종종 우연이라는 발상에서 시작되니까. ​ 미지의 상수 을 이용해 멱급수 꼴로 f(x)를 전개하면(가정하면) 아래와 같다 ​ ​ ​ ​ ​ x=a에서의 멱급수 전개를 살펴보자...

​ 오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정법(alternating series test)에 대해 알아봅시다. ​ (i)교대급수의 정의 ​ 교대급수는 양항 급수 즉 모든 향이 양수인 수열 an을 통해 정의됩니다. alternating 이라는 말에서도 알 수 있듯이 양수항과 음수항이 교대로 번갈아 나온다고 해서 교대급수라 합니다. 교대급수 판정법은 그러한 교대급수에 대해서 수렴과 발산을 조사할 수 있는 판정법입니다. 일단 조건 자체가 굉장히 간단하기 때문에 예제를 풀어보는 데에 문제는 없으나.. 대학교 시험문제의 경우 삼각함수 꼴로 교대급수가 주어질 수 있어 "어?? 이건 뭐지??"하고 어리버리 타지 않도록 합시다. ​ (ii) 교대급수 판정법 교대급수..

이건 스칼라함수고 이건 벡터함수다. (i) 벡터함수의 미분 오늘은 벡터함수의 미분에 대해 알아봅시다. 우리가 고등학교과정까지 배우는 함수는 100% 스칼라함수입니다. 결괏값이 스칼라이면 스칼라함수, 결괏값이 벡터이면 벡터함수라고 취급합니다. 스칼라 함수의 미분은 다들 알듯이, 다음 정의를 이용합니다. 벡터함수의 경우에도 같은 방법으로 미분을 해주고 뒤에 단위벡터를 붙여주면 됩니다. 별 거 없어요. 도입부에 소개한 벡터함수를 미분해보면 다음과 같습니다. 단위벡터는 상수같은 느낌으로 다뤄주시면 됩니다. 상수같은 느낌? 그렇다면 벡터함수가 단위벡터의 상수배로 주어졌을 때는 어떻게 미분하면 될까요? 네 스칼라함수일 경우와 같이 r'(t)=0이 됩니다. 벡터함수의 미분 정의는 다음과 같습니다. 이때, r(t)는 ..

미분방정식이란 말은 왠지 모르게 멋있다. 고등학교 들어와서 '미분방정식'푸는 공대 형들이 참 멋있어보였다. 나만 그런가..? 아무튼, 실제로 미분방정식은 "멋있다." 자동차를 굴리는 힘인 엔진에서도 미분방정식을 빼놓고 설명할 수 없으며 바짓주머니 속에 있는 스마트폰에서도, 릴라드가 던진 클러치 3점슛에서도 미분방정식은 등장한다. 공업수학을 배우고 나면 사회 전반에 미분방정식이 관여하고 있음을 깨닫는다. 도대체 미분방정식이란 게 뭘까? (i) 미분방정식? 미분방정식이라는 건 [미분]+[방정식] 같은 느낌으로 이해하면 된다. 고등학교 때 배우는 미적분과 초등학교 때 배우기 시작하는 방정식의 '역대급' 콜라보랄까? 한창 과외를 할 때 방정식의 정의를 모르는 학생들을 참 많이 만났다. 방정식의 정의는 다음과 같..

공업수학 포스팅은 Erwin Kreyszig 의 Advanced Engineering Mathematics 10th edition 즉 공업수학 10판을 기반으로 하며 상미분 방정식만을 다룬다. 교재의 로드맵을 이용해 보여주면 다음과 같다. 기회가 되면 PART B도 포스팅할 것 같은데 일단 계획은 상미분 방정식까지만. 편미분 방정식부터는 너무 괴랄하고 복잡한 데다가 필요한 사람의 풀(pool)이 너무 좁아지기 때문에 굳이 포스팅하지 않는다. (사실 내가 잘 몰라서_.._) 포스팅 목적 자체가 일반인들도 마치 잡지 읽듯이 부담감 없이 읽을 수 있도록 '소개'하는 것 그리고 쉬운 설명이 필요한 전공인들에게 '이해'를 돕는 것에 있기 때문에 PART A까지만 포스팅한다. 상미분 방정식을 푸는 방법에는 크게 세..