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1. Definition
다변수함수에서 x, y, z 에 대한 편미분도 가능하지만 임의의 벡터를 기준으로 도함수를 구할 수도 있습니다.
이것을 방향도함수(Directional Derivative)라 부르며 다음과 같이 정의됩니다.
점 P에서 f(x,y,z)의 벡터 b 방향으로의 방향도함수 Dbf 또는 df/ds 는 식 (2)와 같이 정의됩니다.
이때 Q는 P를 지나며 b를 방향벡터로 갖는 직선 L에서 P로 다가가는 움직이는 점이고 s는 P와 Q사이의 거리입니다.
방향도함수의 계산은 gradient 를 이용합니다. 이때 b는 단위벡터입니다.
임의의 크기를 가지는 벡터에 대한 방향도함수의 계산은 벡터의 크기로 나누어주는 것으로 정의됩니다.
다음과 같이 정의되기도 합니다.
b 대신에 임의의 단위벡터 u를 사용하고 s 대신에 h를 사용해 정의했습니다.
이는 z = f(x,y)라는 특수한 경우에만 적용되는 정의입니다.
역삼각형 기호(▽) 는 gradient입니다.
※ 방향도함수는 내적값이기 때문에 scarlar 입니다.
2. Examples
(예제) 주어진 f(x,y,z)와 점 P(2,1,3)에 대하여 a = [1,0,-2] 방향으로의 방향도함수를 계산하여라
주어진 방향벡터가 단위벡터가 아니므로 아래 식을 사용합니다.
gradient 를 구하고 P(2,1,3) 점 x=2, y=1, z=3 을 대입합니다.
따라서 P점에서 a방향으로의 방향도함수는 다음과 같습니다.
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