SUBORATORY

많은 학생들이 급수의 수렴/발산에 대해 질문합니다. 그다지 어려운 문제들이 아닌데도 아예 감을 잡지 못하고 가져오는 모습을 보면 참.. 슬퍼요.. 남들이 떠먹여주는 공부만 주구장창 해와서 그런가 스스로 배워야 하는 공부를 어떻게 해야 하는지 감조차 잡지 못한 것 같아요. 이게 사교육의 폐해인가.. 싶기도 합니다. 지난 번에 교대급수 판정법에 대해 포스팅했는데, 정의를 익히고 그대로 문제에 적용하면 된다고 했는데요, 급수의 수렴/발산 문제는 다 그런 식으로 풀어주시면 됩니다 :) ​ Ratio Test는 급수의 수렴/발산을 판정하는 여러 판정법 중 간단한 편에 속합니다. 먼저 정의부터 확인합시다 (i) DEFINITION : Ratio Test ​ 비판정법의 정의는 참 간단합니다. 그런데 그냥 수렴이 아니..

중적분은(double integral)은 기본적으로 주어진 영역 R에서 수행되는 계산이다. 이 영역 R의 x범위, y범위를 구하고 dxdy 또는 dydx 로 미분소 dA를 치환해 계산한다. ​ 그러나 가끔 x와 y의 범위로 깔끔하게 나타내기 어려운 경우가 있다. 원이나 이차곡선 영역이 대표적인 예고, 아래와 같은 형태의 영역도 해당된다. ​ ​ ​ ​ 이럴 때면 일반 1차원 정적분의 치환적분과 비슷한 개념으로 변수를 바꿀 수 있는(chage of variables) 유용한 도구 "Jacobian"을 떠올리자. 한국어로는 야코비안으로도 번역되는데 이 Jacobian은 치환적분시 dx 가 dt로 바뀌는 과정 중 dt에 해당하는 느낌이다. Jacobian의 정의와 이를 이용한 중적분 계산을 간단히 살펴보고 바..

#이상적분 ​ 특이적분이라고도 부르는 improper integral. 직역하면 "적절하지 않은 적분"? 입니다. 어떤 게 적절하냐 하면 바로 적분구간. 이 적절하지 않은 정적분들을 통틀어 improper integral이라 합니다. 이를테면 1/x를 -1부터 1까지 적분한다던지? ​ 적분구간이 "함숫값이 정의되지 않는 점"을 포함하거나 "끝값이 불연속"일 경우 이상적분으로 분류됩니다 ​ (i) DEFINITION : Improper Integral f(x)=1/x의 경우 x=0에서 함숫값이 정의되지 않습니다. 이런 함수까지 정적분을 할 수 있도록 하는 새로운 정의가 바로 "Improper Integral"이다. 함숫값이 정의되지 않는 점이 구간에 포함될 경우 이상적분의 정의를 봅시다 ​ ​ 아직 조금 ..

#미분적분학 ​ Trigonometric Subtitution, 삼각치환법으로 번역되는 AWESOME한 적분 Tool을 알아봅시다. 삼각치환법은 기본적으로 치환적분의 개념을 기초로 하기 때문에 필요하신 분은 치환적분 공부를 더 하고 오시길 바랍니다. ​ 어떻게 풀어야 할까? 위와 같은 형태의 적분을 쉽게 계산할 수 있도록 해주는 Tool 이 바로 삼각치환법입니다. Table 먼저 볼게요 ​ ​ ​ 적분할 함수에 왼쪽 "치환할 함수" 쪽에 있는 함수가 보이면 그에 대응되는 오른쪽의 "치환 형태"에 따라서 치환해주면 됩니다 ​ ​ ​ (예제 1) 다음 부정적분을 구하여라 · · · ​ ​ 처음 주어진 식은 x에 대한 식이었습니다. 따라서 θ을 다시 x로 변환해주면 다음과 같습니다 ​ ​ 이런 느낌으로 치환해..

테일러 급수전개 ​ 테일러 급수전개는 미분방정식을 공부하면서도 나오는 내용이고, 어떤 값을 근사하는 데도 사용되는 유용한 Tool이다. 계산기에는 이 테일러 급수전개 꼴로 수식이 들어가있어, 우리가 원하는 값을 근사적으로 계산해준다고 한다. 예를 들어 의 값을 계산기에게 물어보면 계산기는 다음과 같은 계산을 실행한다. ​ (i) 테일러 급수 전개 Basic Concept는 "미분 가능한 함수를 급수의 형태로 나타내보자"이다. 갑자기 왜 급수의 형태로 나타내는거냐고 묻지말고 그냥 그렇게 해보고 싶었나보다 하고 넘어가라. 위대한 발견은 종종 우연이라는 발상에서 시작되니까. ​ 미지의 상수 을 이용해 멱급수 꼴로 f(x)를 전개하면(가정하면) 아래와 같다 ​ ​ ​ ​ ​ x=a에서의 멱급수 전개를 살펴보자...

​ 오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정법(alternating series test)에 대해 알아봅시다. ​ (i)교대급수의 정의 ​ 교대급수는 양항 급수 즉 모든 향이 양수인 수열 an을 통해 정의됩니다. alternating 이라는 말에서도 알 수 있듯이 양수항과 음수항이 교대로 번갈아 나온다고 해서 교대급수라 합니다. 교대급수 판정법은 그러한 교대급수에 대해서 수렴과 발산을 조사할 수 있는 판정법입니다. 일단 조건 자체가 굉장히 간단하기 때문에 예제를 풀어보는 데에 문제는 없으나.. 대학교 시험문제의 경우 삼각함수 꼴로 교대급수가 주어질 수 있어 "어?? 이건 뭐지??"하고 어리버리 타지 않도록 합시다. ​ (ii) 교대급수 판정법 교대급수..

이건 스칼라함수고 이건 벡터함수다. (i) 벡터함수의 미분 오늘은 벡터함수의 미분에 대해 알아봅시다. 우리가 고등학교과정까지 배우는 함수는 100% 스칼라함수입니다. 결괏값이 스칼라이면 스칼라함수, 결괏값이 벡터이면 벡터함수라고 취급합니다. 스칼라 함수의 미분은 다들 알듯이, 다음 정의를 이용합니다. 벡터함수의 경우에도 같은 방법으로 미분을 해주고 뒤에 단위벡터를 붙여주면 됩니다. 별 거 없어요. 도입부에 소개한 벡터함수를 미분해보면 다음과 같습니다. 단위벡터는 상수같은 느낌으로 다뤄주시면 됩니다. 상수같은 느낌? 그렇다면 벡터함수가 단위벡터의 상수배로 주어졌을 때는 어떻게 미분하면 될까요? 네 스칼라함수일 경우와 같이 r'(t)=0이 됩니다. 벡터함수의 미분 정의는 다음과 같습니다. 이때, r(t)는 ..