[미분적분학] 벡터함수의 미분

 

 

 

이건 스칼라함수고

 

이건 벡터함수다.

 

(i) 벡터함수의 미분

 

 

   오늘은 벡터함수의 미분에 대해 알아봅시다. 우리가 고등학교과정까지 배우는 함수는 100% 스칼라함수입니다. 결괏값이 스칼라이면 스칼라함수, 결괏값이 벡터이면 벡터함수라고 취급합니다. 스칼라 함수의 미분은 다들 알듯이, 다음 정의를 이용합니다.

 

스칼라 함수의 미분

 

 

 

   벡터함수의 경우에도 같은 방법으로 미분을 해주고 뒤에 단위벡터를 붙여주면 됩니다. 별 거 없어요. 도입부에 소개한 벡터함수를 미분해보면 다음과 같습니다.

 

   단위벡터는 상수같은 느낌으로 다뤄주시면 됩니다. 상수같은 느낌? 그렇다면 벡터함수가 단위벡터의 상수배로 주어졌을 때는 어떻게 미분하면 될까요? 네 스칼라함수일 경우와 같이 r'(t)=0이 됩니다.

 

 

 

 

   벡터함수의 미분 정의는 다음과 같습니다.

벡터함수의 미분

 

   이때, r(t)는 위치벡터의 의미를, r'(t)는 해당 점에서의 접선벡터를 의미합니다.

 

 

   보라색 위치벡터 r(t1)과 그 점에서의 접선벡터 r'(t1)을 나타낸 그림입니다

 

 

쉽지요? 이제 예제를 풀어봅시다

 

 

(ii) 예제풀이

 

(예제 1) 다음 함수를 미분하여라

 

벡터함수가 좌표형으로 주어졌네요. 정의를 알아볼 때는 성분표시였구요. 이런 경우에도 똑같이 미분해주시면 됩니다.

 

짜잔

 

 

 

(예제 2) 다음 함수를 미분하여라

 

 

 

이번에는 함수가 s=t^2라는 관계식으로 주어졌네요. 미분의 Chain Rule(연쇄법칙)을 이용해줍시다.

 

 

이므로 답은 다음과 같습니다.

 

 

 

이렇게 s와 t 두가지 문자로 이루어진 도함수를 구할 수 있습니다.

 

 

 

(예제 3) 주어진 r(t)에 대해 t=π 일 때 r'(t)를 구하여라

 

 

이번에는 성분의 합으로 나타낸 벡터함수가 주어졌어요

일단 미분을 해줍시다

 

 

 

양변에 t=π를 대입해주면 r'(π)가 x축의 양의방향으로 2의 크기를 가지는 벡터임을 알 수 있습니다.

 

 

 

참 쉽죠?