[미분적분학] 교대급수 판정법

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오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정법(alternating series test)에 대해 알아봅시다.

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(i)교대급수의 정의

 

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교대급수는 양항 급수 즉 모든 향이 양수인 수열 an을 통해 정의됩니다. alternating 이라는 말에서도 알 수 있듯이 양수항과 음수항이 교대로 번갈아 나온다고 해서 교대급수라 합니다. 교대급수 판정법은 그러한 교대급수에 대해서 수렴과 발산을 조사할 수 있는 판정법입니다. 일단 조건 자체가 굉장히 간단하기 때문에 예제를 풀어보는 데에 문제는 없으나.. 대학교 시험문제의 경우 삼각함수 꼴로 교대급수가 주어질 수 있어 "어?? 이건 뭐지??"하고 어리버리 타지 않도록 합시다.

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(ii) 교대급수 판정법

 

교대급수 판정법의 정의

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그러니까 한마디로, 양항수열 an이 0으로 수렴하는 감소수열일때 해당 an으로 만든 교대급수가 수렴한다는 겁니다. 정의 자체가 그렇게 어렵지도 않고 예시에 적용하기도 그렇게 어렵지 않습니다. 그런데 한 가지 특수한 경우가 있습니다. 첫번째 조건에서 "모든 자연수 n"대신에 "어떤 자연수 k가 있을때,

"인 경우도 가능합니다. 이 경우는 곧 나오는 예제에서 알아봅시다. 교대급수 판정법은 적용이 그렇게 어렵지 않기 때문에 그냥 정의대로 정직하게 사용해주시면 됩니다.

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(iii)예제

 

(예제 1) 다음 급수의 수렴/발산을 조사하여라

 

 

네 딱봐도 교대급수의 형태를 띄고 있는 급수가 주어졌습니다. 교대급수 판정법의 정의에 따라서 차근차근 풀어봅시다.

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모든 자연수 n에 대하여 다음이 성립합니다.

따라서 모든 자연수 n에 대하여

이 성립합니다. 또한

이므로 교대급수 판정법에 의해 주어진 급수는 수렴합니다.

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(예제 2) 다음 급수의 수렴/발산을 조사하여라

 

 

 

교대급수 판정법의 첫번째 조건에서 무조건 모든 n에 대해 성립할 필요는 없다고 했지요? 이를테면 3보다 큰 모든 자연수에 대해서

가 성립해도 괜찮다는 겁니다. 주어진 수열이 감소하는지 알아보기 위해서 an을 가지고 함수f(x)를 만들어볼게요

an을 위와 같이 정의합시다.

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이렇게 f(x)를 설정해주고 f(x)의 도함수를 통해 f(x)의 증감을 알아봅시다. f(x)를 미분해 주면 아래와 같습니다.

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즉 f'(x)는

에서 0보다 작고, 따라서 f(x)는

에서 감소합니다

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따라서 f(x)의 모티브가 되는 an 또한

에서 감소함을 알 수 있는데요

따라서 3보다 크거나 같은 모든 자연수 n에 대하여 다음이 성립합니다

 

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다음으로 lim an을 조사해봐야 합니다. 아래와 같이 0임을 알 수 있는데요,

저는 간편하게 로피탈의 정리를 이용해서 극한값을 구해주었습니다

 

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따라서 교대급수 판정법에 의해, 주어진 급수가 수렴함을 알 수 있습니다.