[선형대수학] 회전행렬(Rotation matrix), 회전변환

#선형대수학

 

2차원 평면에서 반시계방향으로 θ만큼 회전한 회전행렬은 다음과 같이 표현된다

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열벡터 형태로 표시된 [x,y]를 이 행렬에 곱하면 반시계방향으로 θ만큼 회전이 된다.

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여기서 [x,y]가 의미하는 것은 점이 될 수도 있고, 도형이 될 수도 있다.

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이것을 사용해 이차곡선을 회전시킬 수도 있다.

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위 타원을 반시계방향으로 45도 회전한 도형의 방정식을 구해보자

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먼저 회전행렬을 정의하고

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그 다음 회전 변환 식을 이용해

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x', y' 에 대한 식을 얻는다.

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우리가 가지고 있는 것은 x, y에 대한 관계식(타원의 방정식)이므로

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x와 y에 대해 식을 정리해서 넣어주자

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타원에 방정식에 정리한 x, y를 넣어주고 정리하면

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아래와 같은 식을 얻는다.

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프라임(')을 날려주면 회전된 도형의 방정식을 얻는다.

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회전 변환이 타원, 쌍곡선, 포물선과 같은 이차곡선에만 한정되는 것은 아니다.

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이차함수에도 적용 가능하고

 

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초월함수에도 적용할 수 있다.

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단지 explicit function (y = f(x)) 형태로 표현이 안 될 뿐이지 모두 회전할 수 있다.