[공업수학] dominant eigenvalue와 고유값의 근사, MATLAB code

#선형대수학

 

 

 

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1. Approximation of Eigenvalues

행렬의 거듭제곱(power method)을 계산하여 고유값의 근사치를 구할 수 있습니다.

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Xm이 행렬의 거듭제곱과 어떤 벡터 X0의 곱으로 정의될 때

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고유값은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

위 식의 우변을 Rayleigh quotient라 부릅니다.

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예시로 아래와 같은 2x2 행렬을 봅시다.

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먼저, 임의의 X0를 설정합니다.

통상적인 고유값 계산 과정은 행렬식을 이용하는 것이지만 우리는 다른 방법으로 고유값의 근사치를 구할 것입니다.

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연산이 많으니 가급적 간단한 X0를 사용하는 것이 좋겠죠?

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다음으로 행렬의 거듭제곱을 사용해 적당히 큰 Xm을 얻습니다.

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이를 반복해 X7까지 구해주었습니다.

 

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이제 고유값을 근사해봅시다

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본격적인 연산 전에, X7이 너무 크니 스케일링 해주겠습니다.

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이것을 근사식에 대입합시다

 

근사식을 사용해 얻은 고유값은 5.0006입니다

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고유값의 정의를 사용해 얻은 실제 고유값은 5, -2이니 근사가 잘 되었네요

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2. Dominant Eigenvalue

 

사실 위에서 알아본 근사식은 그냥 고윳값이 아니라 "Dominant Eigenvalue"을 구하는 근사식입니다.

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Dominant Eigenvalue의 정의는 다음과 같습니다.

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n x n 행렬 A와 i = 1,2, . . . , n에 대하여 다음과 같은 k번째 고유값을 A의 dominant eigenvector라 한다.

 

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즉 절댓값이 가장 큰 하나의 고유값을 의미합니다.

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예를 들어

위 행렬의 고유값을 구해보면 0, -4, 3 이니

dominant eigenvalue는 -4가 됩니다.

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아래의 행렬 B의 경우 고유값이 2, 5, 5 입니다.

이때 dominant eigenvalue는 5가 아니라 ​"존재하지 않는다"가 됩니다.

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이점을 주의해야 합니다.

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=> dominant eigenvaule : 절댓값이 가장 큰 고유값

=> 만약 절댓값이 가장 큰 고유값이 2개 이상이면 dominant eigenvalue는 없다(λ = -5, 5 처럼)

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3. MATLAB Example

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(예제) 3 x 3 행렬 A에 대해 dominant eigenvalue를 구하여라

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임의로 10번 연산을 수행해 dominant eigenvalue를 근사하였습니다.

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A = [1 2 -1;2 1 1;-1 1 0];
X = [1 1 1]';

n = 10;
for i = 1:n
    X = A*X;
    X = X/max(X); %Scaling
end
X10 = X

dominant_eigenvalue = (A*X10)'*X10/(X10'*X10)

 

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실제 A의 고유값은 다음과 같습니다.

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