[편입수학] 한양대 2023학년도 완전미분방정식

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출

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공업수학 과목에 속한 미분방정식 문제가 나왔습니다.

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1. Main Concept

미분방정식 중에서도 1계 상미분 방정식 단원의 "완전미분방정식"(Exact ODE)이 출제되었습니다.

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완전미분방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다.

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​(1) 완전성 검사 : M을 y에 대해 편미분한 것과 N을 x에 대해 편미분한 것을 비교한다.

(2) u = int(M) dx +k(y) 로 설정. 또는 u = int(N)dy + k(x) 로 설정.

(3) u의 편도함수가 N임을 (M임을) 이용해 k(y) 또는 k(x)를 결정한다.

(4) u = C꼴의 해를 정리한다.

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만약 (1) 완전성 검사(test exactness)를 수행했는데 양변이 다르다면 적분인자를 구해주어야 하는 문제입니다. 적분인자를 구하는 것이 시간이 오래 걸리고 쉽지 않지만 이 문제는 적분인자 문제는 아니었습니다.

​https://blog.naver.com/subprofessor/222096923593

[공업수학] 1.4-3 적분인자(Integrating Factor)

 

 

 

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2. Problem

 

 

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초기조건을 주었으니 적분상수까지 처리해서 해를 완벽하게 구하고

x=2를 대입해 y(2)를 구하는 문제였습니다.

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먼저 미분방정식을 보면 어떤 방정식인지(이 문제는 1계 상미분 (비선형) 방정식) 알 수 있어야 하고

즉시 각각에 맞는 풀이를 떠올릴 수 있어야 합니다.

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(1) 분류 :

- ODE / PDE 인가?

- 미방의 계수는? 1계 / 2계 / n계

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(2) 각 분류에 맞는 풀이방법 채택

- 이 문제에서는 완전미분방정식을 푸는 방법