[미분적분학] 삼각치환법 (Trigonometric Subtitution)

#미분적분학

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Trigonometric Subtitution, 삼각치환법으로 번역되는 AWESOME한 적분 Tool을 알아봅시다. 삼각치환법은 기본적으로 치환적분의 개념을 기초로 하기 때문에 필요하신 분은 치환적분 공부를 더 하고 오시길 바랍니다.

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어떻게 풀어야 할까?

위와 같은 형태의 적분을 쉽게 계산할 수 있도록 해주는 Tool 이 바로 삼각치환법입니다. Table 먼저 볼게요

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Trigonometric Substitution Table

 

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적분할 함수에 왼쪽 "치환할 함수" 쪽에 있는 함수가 보이면 그에 대응되는 오른쪽의 "치환 형태"에 따라서 치환해주면 됩니다

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(예제 1) 다음 부정적분을 구하여라

 

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처음 주어진 식은 x에 대한 식이었습니다. 따라서 θ을 다시 x로 변환해주면 다음과 같습니다

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이런 느낌으로 치환해주는 것을 삼각치환법이라고 합니다.

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(예제 2) 다음 정적분을 구하여라

 

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피적분함수가 x^2 +a^2 꼴을 포함하므로 tan θ 로 치환해줍시다

 

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여기서 치환을 한번 더 하면 쉽게 풀리겠지요? 굳이 치환을 안하더라도 피적분함수를 cscθcotθ 라 본다면 부정적분이 -cscθ 임을 알 수 있습니다.(기본적인 적분 공식 사용)

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csc θ 는 tan θ 로부터 아래 직각삼각형을 설정한 후 쉽게 구할 수 있습니다

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