[공업수학] 코시-리만 방정식(Cauchy-Riemann Equations) 예제

1. 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann Equations)

 

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  z = x + yi 인 복소공간에서 f(z) = u(x,y) + i v(x,y) 가 연속이고 미분가능하면 u, v는 아래 방정식을 만족합니다.

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  위 방정식을 코시-리만 방정식이라 부릅니다.

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  즉 f(z)가 정의역 D에서 해석적(analytic)이라면 D의 모든 점에서 f(z)의 편도함수가 존재하고 코시-리만방정식을 만족합니다.

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2. 증명

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  복소함수는 어느 방향으로 Δz 를 잡더라도 미분계수가 존재할 때 미분가능합니다.

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  따라서 x, y 두 방향으로의 f(z) 미분계수를 따져봅시다.

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  Δx와 Δy를 이용해 f'(z)를 표현합니다.

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  이때 1번 경로는 Δy=0 인 경우니까 1번 경로에 대한 임의의 점 z에서의 미분계수는 아래와 같습니다.

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  따라서 x축과 평행한 방향으로 접근했을 때 미분계수는 아래와 같습니다.

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  2번 경로의 경우 Δx=0 이므로

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  y축과 평행한 방향으로 접근했을 때 미분계수는 아래와 같습니다.

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  f'(z)를 실수부와 허수부로 나눴을 때 f(z)가 미분가능하다면,

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  1번 경로의 실수부 = 2번 경로의 실수부에서

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  1번 경로의 허수부 = 2번 경로의 실수부에서

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  따라서 미분가능하다는 조건(f(z) is analytic)과 코시-리만 방정식이 성립함은 필요충분조건이 됩니다.

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3. 예제

 

 (예제 1) f(z)가 해석적인지 판별하여라

 

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  먼저 실수부와 허수부를 나눕니다.

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  코시-리만 방정식으로부터 다음 식이 성립합니다.

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  코시-리만 방정식이 성립하므로 f(z)는 해석적입니다.

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(예제 2) f(z)가 해석적이고, 실수부 u가 다음과 같을 때 f(z)를 구하여라

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  문제에서 원하는 함수는 아래와 같은 형태의 f(z)입니다.

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  f(z)가 해석적이니, 코시-리만 방정식이 성립합니다.

 

  로부터 vy 는 다음과 같습니다.

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  양변을 y에 대해 적분을 취해 v를 얻을 수 있습니다. 이때 x는 편미분 할 때처럼 상수취급합니다.

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  얻은 v를 x에 대해 편미분합니다.

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  코시-리만 방정식의 두번째 식을 적용합니다.

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  위 식으로부터 k(x)를 확정합니다.

 

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  f(z)의 허수부는 다음과 같습니다.

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(예제 3) f(z)가 해석적이고, 실수부 u가 다음과 같을 때 f(z)를 구하여라. 단 f(0)=0

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  첫 번째 코시-리만 방정식으로부터

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  양변을 y에 대해 적분합니다.

 

  두 번째 코시-리만 방정식을 적용하여 허수부 함수 v(x,y)를 구합니다.

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  f(z)는 다음과 같습니다. (f(0)=0 조건을 적용)

 

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