[유체역학] 나비에-스톡스 방정식의 무차원화

#유체역학

#무차원화

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목차
1. 차원과 단위(Dimensions and Units)
2. 방정식의 무차원화(Nondimensionalization of Equations)
3. 예제1 : 운동방정식 - 중력가속도
4. 무차원화의 장점
5. 예제2 : 나비에-스톡스 방정식(Navier-stokes equation)
6. 특수한 경우들

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1. 차원과 단위

무차원화(Nondimensionalization)을 이해하기 위해서는 먼저 차원의 정의를 알아야 합니다.

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정의 : Dimension is a measure of physical quantity while a unit is a way to assign a number to that dimension.

예를 들어 "길이"는 차원이고, 미터(m)나 인치(inch)는 단위가 됩니다.

Length : Dimension(L)이고 이에 대응되는 unit은 m, km, cm, inch, ft . . .

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주요한 7가지 차원(Primary dimensions)으로 존재하는 모든 물리량을 표현할 수 있습니다.

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예를 들어 밀도의 경우 아래와 같이 M,L로 표현할 수 있습니다.

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2. 방정식의 무차원화

방정식의 각 항의 차원이 없을 때(dimensionless) 무차원 방정식(nondimensional equations)이라 합니다.

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(1) 무차원 변수

무차원 변수의 정의는 다음과 같습니다.

Quantites that change or vary in the problem, but have no dimensions.

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예를 들어 우리가 푸는 수학 문제들은 대부분 무차원 방정식입니다.

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(2) 방정식의 무차원화

다음 세 가지 순서로 진행됩니다.

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1. 적절한 Scaling parameters를 선정

2. 무차원 변수를 정의

3. 기존의 방정식을 무차원화

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3. 예제 1 : 운동방정식 - 중력가속도

다음과 같은 운동방정식을 생각해봅시다.

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초기위치와 초기속도가 각각 z0, w0으로 주어진 z방향 운동방정식입니다.

현재 중력만이 외력으로 작용하고 있어, F=ma에서 질량 m을 소거한 형태로 주어졌습니다.

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이 방정식의 해는 아래와 같습니다.

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그렇다면 위 운동방정식의 차원은 무엇일까요?

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어떤 방정식의 차원을 쉽게 파악하는 방법은 양변의 차원이 같다는 것입니다.

우변이 중력가속도인데, 가속도의 차원은 m/s^2이므로 주어진 방정식의 차원은 다음과 같습니다.

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1. 적절한 Scaling parameters를 선정

scaling parameter는 방정식을 무차원화하기 위해 방정식의 양변에 곱해거나 나눠줄 parameter를 말합니다.

여기서는 초기값으로 주어진 z0와 w0​​를 사용합시다.

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2. 무차원 변수를 정의

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방정식을 구성하고 있는 변수인 z와 t가 무차원 변수가 되도록 각 차원에 맞추어 나눠줍니다.

이때, 무차원 변수를 정의하는 것은 문제를 푸는 사람의 자유입니다.

그렇지만, 통상적으로 어떤 상황에서 어떻게 무차원변수를 정의하는지 정해져 있으며

공부를 조금만 하면 감을 익힐 수 있습니다.

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z는 z0로 나누어 주었는데 t는 t0로 나누지 않은 이유?

> t0라는 것이 따로 정의된 것도 아니고 크게 어떤 의미를 갖지 못하기 때문에 거리를 속도로 나눈 z0/w0로 t를 나눠줍다.

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3. 기존의 방정식을 무차원화

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앞서 정의한 무차원 변수들을 주어진 방정식에 대입합니다.

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이를 정리하면 아래와 같이 양변이 무차원인, 무차원 방정식을 얻을 수 있습니다.

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프루드 수(Fround number)를 다음과 같이 정의하면

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간단하게 무차원 방정식을 표현할 수 있습니다.

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무차원 방정식의 해를 구하면 다음과 같습니다.

C1, C2를 구하기 위해 초기조건을 사용해야 하는데, 주어진 초기조건으로 무차원화된 초기조건을 사용합시다.

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따라서 다음과 같은 해를 얻습니다.

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4. 무차원화의 장점

앞선 예제에서는 큰 장점이랄 것이 보이지 않은 것 같습니다.

어차피 같은 결과 아니야? 라고 생각할 수 있지만, 먼저 무차원화가 필요한 이유를 설명하겠습니다.

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(1) 앞선 예시는 매우 간단하고 해석적인(analytical solution, exact solution) 해를 구할 수 있는 경우입니다.

(2) 그러나 더 복잡한 상황과 문제가 일반적입니다.(편미분 방정식이나 연립된 미분방정식) 이런 문제들은 손으로 완벽한 해를 구할 수 없기 때문에 공학자들은 수치적으로(numerically)나 실험적으로(experimentally) 문제를 풉니다.

(3) 하지만 비용과 시간이 많이 들기 때문에 방정식을 무차원화하는 것이 매우 유용하고 많은 시간과 비용을 줄여줄 수 있습니다.

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어떤 항이 지배적인지, 어떤 항을 무시할 수 있는지 그러한 직관을 제시해준다고 할 수 있겠습니다.

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영어 원문 : Relationships between key parameters in the problem are identified. The number of parameters in a nondimensionalized equation is less than the number of parameters in the original equation.

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5. 예제2 : 나비에-스톡스 방정식(Navier-stokes equation)

이번 글의 본론이자 하이라이트입니다.

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<비압축성 유체>에 대한 나비에-스톡스 방정식입니다.

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> 무차원 변수를 설정합니다.

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(1) 길이(Length)

 

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위 정의에 의해 nabla는 아래와 같이 무차원화됩니다.(nabla는 [1/L]의 차원를 가지고 있음)

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(2) 속도(Flow velocity)

벡터 u를 flow velocity라 하고, U를 특성속도(characteristic velocity)라 합시다. 특성길이나 특성속도같은 것들은 문제에 따라서 사용자가 정의하기 나름입니다.

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(3) 시간(Time)

앞선 예제1에서와 같이 L/U로 나누어줍니다.

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(4) 압력(Pressure)

압력에 대해서는 단일화된 무차원화방식이 없습니다. 여기서는 두 가지 형태로 무차원화하겠습니다.

① 점성 효과가 지배적일 때(viscous effects are dominant)

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② 관성 효과가 지배적일 때(inertia effects are dominant)

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단순하게, 레이놀즈 수(Reynolds number; Re)가 작으면 점성 효과가 지배적, 크면 관성 효과가 지배적이라고 생각합시다.

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> 앞서 정의한 관계식을 대입해 방정식을 무차원화합니다.

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먼저, 좌변입니다.

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우변의 압력항은 먼저 관성효과가 지배적인 것으로 가정합시다.

여기서 레이놀즈 수를 다음과 같이 정의하면

무차원화된 나비에 스톡스 방정식(Nondimensionalized NS equation)을 얻을 수 있습니다.

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+) 만약 점성효과가 지배적인 상황이라면

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여기서 동점성계수의 정의를 사용합니다.

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따라서 무차원화된 나비에-스톡스 방정식은 다음과 같습니다.

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6. 특수한 경우들

앞서 무차원화의 장점에서, 변수간의 관계나 지배적인 효과를 다루기 용이하다고 했습니다.

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(1) Stokes regime

Re -> 0 인 경우로 유속이 매우 작아 점성효과가 지배적인 영역입니다.

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무차원화된 나비에-스톡스 방정식은 아래와 같이 항이 정리됩니다.

 

Creeping motion

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Stokes equation(diffusion equation)

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(2) Euler regime

Re -> ∞ 인 경우로 유속이 매우 크거나 점성항이 매우 작아 관성효과가 지배적인 영역입니다.

점성항을 무시할 수 있으며 아래와 같이 식이 정리됩니다.

 

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레이놀즈 수와 무관한 flow라는 것을 알 수 있습니다.

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+)

운동방정식을 무차원화시켜놓고 보니, 무차원변수가 거동에 지배적인 영향을 주고 있다는 것을 볼 수 있습니다. 이 과정을 통해 서로 다른 유체나 다른 길이 스케일에서도 무차원화시킨 데이터들이 같은 경향성을 보인다는 것을 받아들이고 이해할 수 있습니다.