[유체역학] 블라시우스 해법(Blasius Solution) 유도

블라시우스 해법은 평판 위를 흐르는 정상, 비압축성 층류 경계층 방정식의 고전적 해법입니다. 이를 유도하기 위해 몇 가지 단순화와 변환 과정을 거칩니다. 자세한 유도 과정을 아래에 설명합니다.

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지배방정식(Governing Equation)

2차원 정상, 비압축성 흐름을 위한 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같습니다:

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경계층 가정(Boundary Layer Assumptions)

 

평판 위 경계층 흐름의 경우:

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이러한 가정에 따라 경계층 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다 :

 

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유사 변환(Similarity Transformation)

위 방정식을 풀기 위해 유사 변환을 사용합니다. 유사 변수 η(eta) 와 유동함수(stream function) ψ(psi) 를 도입합니다 :

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여기서 U는 자유흐름 속도입니다

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유동함수(stream function) ψ는 다음과 같이 속도 성분 u와 v와 관련됩니다:

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유동함수(stream function)를 이 관계식에 대입하면:

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운동량 방정식에 대입

유사 변수와 유동함수(stream function)를 단순화된 운동량 방정식에 대입하면:

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u와 v를 대입하면:

 

정리하면, η가 소거되고 블라시우스 방정식이 유도됩니다:

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경계 조건(Boundary Conditions)

문제의 경계 조건은 다음과 같습니다:

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해법과 결론(Solution and Conclusion)

블라시우스 방정식은 3차 비선형 상미분 방정식으로, 일반적으로 수치적으로 풀립니다. RK 4th method를 사용해 풀 수 있고, 그 해는 이미 구해져 있습니다.

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블라시우스 해법은 평판 위 층류 경계층 흐름에 대한 속도 분포를 제공하며, 경계층이 선단에서부터 거리의 제곱근에 따라 어떻게 성장하고, 속도가 벽에서 자유흐름 속도로 어떻게 전이하는지를 설명합니다.