[재료역학] 모어 원 그리는 법(Morh's Circle)

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#재료역학

 

모어 원

 

 

모어 원은 원하는 임의의 경사면 요소에 대하여 응력 상태를 쉽게 알 수 있게 해주는 유용한 도구입니다.

"평면응력 상황에서" 주로 사용되며

모어 원을 그리게 되면 재료에 작용하는 최대,최소 수직응력 그리고 최대전단응력을 한 눈에 살펴볼 수 있다는 큰 장점이 있습니다.

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수업을 하다보면 많은 학생분들이 어려워하는 부분인데

사실 한,두 번 정확히 그리다보면 쉽게 익숙해질 수 있는 파트입니다.

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모어 원 그리는 법

모어 원 그리는 방법은 간단합니다.

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1. 삼각형을 그린다. 이때, 빗변이 원의 반지름(R)이 되고 각도는 2θp이다.

2. 원의 중심(Center)를 구한다.

3. 모어 원을 그리고, 시작점을 표시한다.

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아래와 같은 응력 상황을 보겠습니다.

 

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1. 삼각형을 그린다.

이 삼각형의 가로와 세로는 응력들을 이용해 정의되어 있으며

삼각형을 그리는 목적은 빗변이자 모어 원의 반지름이 되는 R을 구하기 위함입니다.

여기서 삼각형의 왼쪽 각은 주각(θp)의 두 배입니다.

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반지름 R = 70이고, 주각(Principal Angles)은 216.9/2 = 108.4가 됩니다.

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2. 원의 중심을 구한다.

위 식을 이용하면 C = 84 입니다.

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3. C와 R을 가지고 모어 원을 그립니다.

이때 중심은 항상 가로축 위에 있습니다.

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아래 그림은 일반적인 상황의 모어 원을 그린 겁니다.

★ 주각은 "현재 상태에서 최대 수직응력을 갖기 위해서 회전해야 하는 각도"를 의미합니다.

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1, 2의 결과를 가지고 모어 원을 그리면 다음과 같습니다.

 

반응형

 

주각을 가지고 시작점 A를 표시하기 어렵다면, 단순히 초기상태에서 응력을 좌표처럼 생각해서 A점을 구할 수 있습니다.

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<모어원에서의 규칙>

1. 각도 단위는 2θ, 반시계 방향으로 회전

2. 전단응력 축은 아래를 향하도록

3. 중심은 항상 수평축 위에

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이게 끝입니다.

핵심은 반지름, 중심, 시작점입니다.

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문제에서 주로 요구하는 것

1. 주응력(최대,최소 수직응력)과 최대전단응력(R)

2. 주각(Principal Angles) 또는 주축(Pricipal Axis)을 구하여라

3. 각도 θ 만큼 회전한 응력 요소 그리기

4. 주응력 상황에서 응력 요소 그리기

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1.

주응력은 모어원을 그리게 되면 수평축과 만나는 지점을 쉽게 찾을 수 있는데(C+R, C-R)

그 두 값을 주응력이라 합니다.

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앞서 예시로 든 상황에서 주응력은 다음과 같습니다.

최대 전단응력은 모어원 그림에서도 알 수 있듯이 원의 반지름과 같습니다.

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2.

주각은 삼각형의 각도/2입니다.

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3.

가령, 반시계 방향으로 30도 회전한 요소의 응력을 구한다 합시다.

모어원에서는 각도 단위가 2θ가 되기 때문에 이를 꼭 주의해주시구요

B점을 회전한 상태라 한다면, 위와 같은 그림에서 응력을 구하는 것은 너무나 쉽습니다.

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또 주의해야 할 것은 수직응력이 2개이기 때문에, 거기서 90도 회전한(모어원 상에서는 180도) B'점의 응력을 구해서 표시해줘야 합니다.

전단응력 축이 아래 방향이라는 것도 주의해주세요

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4.

주응력 상황에서는 전단응력이 없습니다.

주각만큼 회전한 면(축)에 최대 수직응력을, 수직인 면에 최소 수직응력을 쓰면 됩니다.