MATHEMATICS/공업수학

[공업수학] 푸리에 변환(Fourier Transform)

섭교수 2022. 12. 27. 22:14
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#공업수학

푸리에 변환과 푸리에 역변환은 다음과 같습니다.

1. 푸리에 변환

 

 

푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

Dennis G.Zill - Advanced Engineering Mathmatics 6th edition

 

 

푸리에 변환의 경우 적분구간이 (-∞,∞) 이고 코사인, 사인 변환의 경우 (0,∞)라는 것에 주의합니다.

푸리에 역변환에 있는 1/2π 항을 루트로 나눠서 푸리에 변환과 역변환에 각각 나누어 정의하기도 합니다(크레이지 공업수학)

 

 

 

2. 도함수 공식

도함수에 관한 푸리에 변환은 다음과 같습니다.

 

 

 

푸리에 코사인, 사인 변환에 대한 도함수 공식입니다.

 

> 1계 도함수

> 2계 도함수

 

유도는 부분적분을 통해 할 수 있습니다.

예시로 사인 변환의 2계 도함수 공식을 유도해보겠습니다.

 

 

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3. 편미분 방정식 적용 시 유의사항

편미분 방정식에 푸리에 변환을 적용하려면 아래 사항들을 유의하여 사용해야 합니다.

 

 

(1) 어떤 변수에 대해, 어떤 푸리에 변환을 수행하는지 정의할 것

(2) 푸리에 변환을 수행하는 변수의 정의역 확인하기

▷ (-∞,∞) : 푸리에 변환

▷ (0,∞) : 푸리에 코사인 변환 / 푸리에 사인 변환

▶▶ 2계 편미분 방정식의 경우 초깃값이 뭔지에 따라 코사인 / 사인 변환을 사용

▶▶ f(0) → 푸리에 사인 변환, f'(0) → 푸리에 코사인 변환

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