[공업수학] 1.3 Separable ODEs (변수분리형 상미분 방정식)

간단한 변수분리형 1계 상미분 방정식을 풀어보자. 1.2는 방향장(direction field)에 관한 내용인데 깊게 들어가지 않고는 딱히 알 필요성이 적기 때문에 건너뛴다. 방향장이 뭔지 알고 싶은 사람은 아래 링크로

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https://blog.naver.com/NBlogTop.naver?blogId=roty22&Redirect=Dlog&Qs=/dydrogud22/220108163230 

수학-방향장과 오일러 방법

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1. 변수분리형 상미분 방정식의 형태

 

 

이번 시간에 다루는 변수분리형 미분방정식은 1계 미분방정식이다. 영어로는 separable ODE 혹은 separation of variables 라고 한다. 챕터 1에서 다루는 미분방정식 대부분은 간단한 1계 미분방정식인데 그 중에서도 가장 간단한 형태가 이 변수분리형이다. 변수분리형 미분방정식을 보기에 앞서 1계 미분방정식의 예 몇가지를 보고 가자.

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이런 애들이 1계 미분방정식이다. 첫번째나 두번째 모두 1계.1차.선형.상미분 방정식이다. 이런 애들 중 변수분리형 미분방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

또는

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엥 왜 dy와 dx가 분리가 되었지? 하는 사람에게 간단히 말하자면 y는 y끼리 모으고 (dy 포함), x는 x끼리 모아서(물론 dx포함) 정리한 것이다. 이렇게 정리가 되는 상미분 방정식들을 변수분리형 상미분 방정식이라고 한다. 이 친구들은 양변에 적분을 취해주면 각 변수에 대한 어떤 함수꼴로 쉽게 정리가 된다. 즉 미분소(dy 나 dx)가 없는 형태의 식을 도출할 수 있다. 간단한 예를 보자

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2. 예제풀이 

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(예제 1) 다음 미분방정식의 해를 구해라

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x는 x끼리, y는 y끼리 모아서 정리해주자

 

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양변에 부정적분을 취해주고

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부정적분을 풀면 위와 같은 형태가 된다. 이때 양변에 나오는 적분상수는 한쪽으로 몰아서 정리해도 무방하다. 그 편이 훨씬 깔끔. 여기까지 구해도 되고 양함수꼴의 해를 구해야 한다면, y=f(x)꼴로 정리를 해주면 된다. 위 경우에는 다음과 같이 정리할 수 있다.

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따지자면 근호 안에 C가 아니라 -C라고 해야 깔끔할 수,도 있겠는데 어차피 상수니까 C로 정리해줘도 된다.

 

 

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(예제 2) 다음 미분방정식의 해를 구해라

x는 x끼리, y는 y끼리 모아서 정리해주자

양변 적분해주면 아래 식을 얻을 수 있다.

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y를 감싸고 있는 ln을 벗겨주면

이런 일반해를 구할 수 있다. tanx + C를 좀더 간단히 정리해주면

이렇게도 정리해줄 수 있다. (e^C를 C라는 상수로 취급)

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3. 초깃값 문제 (Initial Value Proble; IVP)

 

 

고등학교 미적분에서 적분상수를 없애기 위해서는 (상수를 확정짓기 위해서는) f(a)=b라는 함숫값 하나가 필요했다. 이 함숫값을 문제에서 주지 않으면 적분상수를 없앨 수가 없다. 공업수학의 미분방정식도 마찬가지다. 단, 함숫값은 초깃값으로 한정된다. 이게 무슨 말이냐 하면 x=0일때의 함숫값을 주어준다는 뜻이다. 물론 그렇지 않은 경우도 있는데 대부분 그렇다. 이유는 간단하다. 미분방정식을 푸는 이유는 변화를 토대로 미래의 물리량을 파악하는 것에 있는데 x=0일 때, 즉 초기의 물리량을 주어주는 것이다. 변화하고 있는 중간의 값보다는 초기의 값이 실제로 측정하기 용이하기 때문이다. 단순히 예제 한 개를 푸는 것을 넘어서 실생활의 Problem을 해결하는 Solution을 구함에 있어서는 초깃값을 다루는 것이 거의 필수불가결하다.

 

 

초깃값은

 

형태로 주어지는데 우리가 알고있던 함숫값과는 조금 다른 형태로 주어진다. 저 식이 의미하는 바는 이렇다. "x=0일때 y값은 4입니다." 또는 "t나 r 등을 변수로 가지는 y가 있다. 변수의 값이 0일 때 y의 값이 4이다."와 같이 이해하면 된다. 

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(예제 3) IVP를 풀어라

일단 t와 y를 각각 모아서 적분해주면 다음과 같다.

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여기서 초깃값 y(0)=ln4를 대입해주면

라는 특수해를 얻을 수 있다.

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※특수해와 일반해를 구분하는 간단한 방법은 적분상수가 있느냐 없느냐이다. 일반해(general solution)는 초깃값이 적용되지 않은 해, 특수해(particular solution)는 초깃값을 적용해 얻은 특정한 해라고 이해하면 된다.

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(예제 4) 다음 IVP를 풀어라

,

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x는 x끼리, y는 y끼리 모아주고 적분한다.

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여기서 초깃값을 바로 적용해주자

이므로 특수해는 다음과 같다.

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어떤 방정식이 변수분리형이라면, 한 가지만 기억하면 된다. x는 x끼리, y는 y끼리.

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<1.3 변수분리형 미분방정식 요약>