[공업수학] 0. 미분방정식의 소개

   미분방정식이란 말은 왠지 모르게 멋있다. 고등학교 들어와서 '미분방정식'푸는 공대 형들이 참 멋있어보였다. 나만 그런가..? 아무튼, 실제로 미분방정식은 "멋있다." 자동차를 굴리는 힘인 엔진에서도 미분방정식을 빼놓고 설명할 수 없으며 바짓주머니 속에 있는 스마트폰에서도, 릴라드가 던진 클러치 3점슛에서도 미분방정식은 등장한다. 공업수학을 배우고 나면 사회 전반에 미분방정식이 관여하고 있음을 깨닫는다. 도대체 미분방정식이란 게 뭘까?

 

(i) 미분방정식?

 

   미분방정식이라는 건 [미분]+[방정식] 같은 느낌으로 이해하면 된다. 고등학교 때 배우는 미적분과 초등학교 때 배우기 시작하는 방정식의 '역대급' 콜라보랄까? 한창 과외를 할 때 방정식의 정의를 모르는 학생들을 참 많이 만났다. 방정식의 정의는 다음과 같다.

 

 

  음! 아직 와닿지가 않는다. 이 정의를 쓴 사람은 멋있어보이려는 마음이 컸던 걸까? 미지수는 뭐고 특정한 값은 뭘까.. 하는 사람들까지 유감스럽게도 내가 공업수학 파트에서 케어해줄 수는 없다. 그점에서는 미안하게 생각한다. 그냥 이런 게 있구나 하고 스크롤을 내려준다면 감사하겠다. 혹 방정식에 대한 정의에 대해 더 알아보고 싶은 마음이 있다면 아래 링크를 타고 가면 된다.

 

ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D

 

   쉽게 말하자면 "x의 값에 따라 참과 거짓이 성립하는 식"이 바로 방정식이다. 이때 중요한 것은 '거짓'이다. 항상 성립하는 식은 '항등식'이고 거짓인 경우가 존재하면 '방정식'이 된다. 예를 들어보자.

 

   위 등식은 x= -10일때만 성립한다. x가 0이거나 1일때는 성립하지 않는다. 이런 식을 우리는 방정식이라고 부른다. 여기에 '미분'이란 개념이 추가되는 거다. 미분방정식의 정의를 보자.

 

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   음! 더 어려워진 것 같다. 이번에는 먼저 예시를 보자.

 

   위 등식의 의미는 이렇다. "x에 대한 함수 y가 있는데, 그것의 도함수가 x의 제곱입니다." 이 형태는 고등학교 미적분에서도 많이 볼 수 있다. 아주 쉬운 형태의 미분방정식이다. 공업수학이 다루는 미분방정식은 2계도함수는 기본으로 들어간다.

 

라던지

 

라던지!

 

   그렇다. 어떤 함수를 미분한 함수 즉 도함수가 포함된 형태의 등식을 바로 미분방정식이라고 한다. 2계도함수가 있으면 2계 미분방정식이 되고, 3계도함수가 있으면 3계 미분방정식이 된다. 이와 같은 미분방정식의 '분류'에 앞서 "왜 미분방정식인가?"라는 물음에 대해 알아보자

 

(ii) 왜 미분방정식인가?

 

   '미분'이 함수의 '변화'를 의미하는 것은 아마 다 알고 있을 것이다. 세상에 멈춰있는 것은 아무것도 없다. 테이블 위의 놓여있는 물 한 컵도 사실은 물 분자들이 계속해서 움직이고 있으며, 공부할 때 쓰는 지우개조차 깊게 들어가보면 전자가 쉬지 않고 움직이고 있어 눈으로 보는 것 조차 불가능할 정도다. 그렇다. 너무 억지스럽다. 조금 더 와닿는 예로 처음에 말한 릴라드의 3점슛을 보자

 

   포틀랜드의 릴라드가 플레이오프 파이널 7차전 4쿼터 0.5초를 남겨두고 스텝백 3점을 던졌다.

 

   릴라드가 쏘아올린 작은 공이 어떻게 움직일까? 어떤 궤적을 그리면서 골대 안으로 빨려들어가는지에 대한 표현은 여러가지가 있지만 가장 간단하며 실용적인 식이 바로 미분방정식이다. 릴라드가 던진 공의 '속력'과 '중력가속도'라는 위치변화율을 토대로 우리는 공의 위치를 파악할 수 있다.

   이와 같이 미분방정식의 궁극적인 목적은 '변화'를 토대로 '미래'를 예측하는 데 있다. "일정한 속력 5 m/s로 움직이는 물체의 5초 뒤 변위를 구하여라", "어떤 물질의 반감기가 5년일 때, 이 물질이 처음의 1/10이 되는 시간을 계산하여라"같은 문제들을 푸는 유용한 "도구"가 바로 미분방정식이다. 이 예시 말고도 정말정말 다양한 활용이 가능하다. RLC회로, 파동, 인구모델, 경제지표 등등..

 

   미분방정식을 배워야 하는 이유는 이 정도로 마무리하자. 이 밖에도 뉴턴과 라이프니츠의 소송 등 재미있는 이야기들이 참 많지만.. 갈 길이 멀다!