[유체역학] 압축성 유체의 압력분포

#유체역학

 

  압력은 유체의 운동을 분석함에 있어서 매우 중요하게 고려되는 성질입니다. 한 유체 내에서 압력분포는 일정하지 않습니다. 그 예로 바다 깊은 곳에서 잠수함에 작용하는 높은 압력을 들 수 있습니다.

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  유체 중에서도 정지해있는 압축성 유체의 압력분포를 알아봅시다.

 

nationalinterest.org

 

 

(i) 비압축성 유체의 압력분포

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비압축성 유체의 압력분포는 아래와 같습니다.

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이때 p1과 z1는 기준이 되는 지점의 압력과 높이(z)입니다.

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(ii) 압축성 유체의 압력분포

먼저 유체가 압축이 용이한 기체라 가정합시다. 이상기체 방정식을 적용해 밀도를 용이하게 표현할 수 있습니다.

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이상기체 방정식

 

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다들 아시겠지만 우변은 각각 기체의 밀도, 기체상수, 기체의 온도입니다.

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위에서 다룬 아래 압력과 밀도 관계식에서 시작합니다.

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이상기체 방정식에서 ρ를 p/RT로 치환하면 다음과 같습니다.

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p를 넘기고 변수분리합니다.

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양변을 각 문자에 대해 적분합니다. g와 R은 z와 관계없는 중력가속도, 기체상수 이므로 적분기호 밖으로 꺼냅니다.

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이때 등온기체(온도가 기체 내 모든 지점에서 일정)일 경우 다음과 같이 T를 꺼내 적분합니다.

다음과 같이 압력 p2를 구할 수 있습니다.

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기체 내에서 온도가 높이z에 따라 변할 경우 즉, T=T(z)라면 압력 p2는 다음과 같이 적분형태로 나타낼 수 있습니다.

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<정리>

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1. 비압축성 유체의 압력분포 dp/dz = -ρg 와 이상기체 방정식 p=ρRT 로 압축성 유체의 압력분포를 유도할 수 있음

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2. 온도가 기체 내에서 일정할 경우 압력분포

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3. 온도가 기체 내에서 일정하지 않을 경우 압력분포

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※p0은 기준높이 (z0)에서의 압력, p는 구하고자 하는 높이 (z)에서의 압력

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