[공업수학] 7. 디랙 델타, Short Impulse

 

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Dirac delta function. 6.4는 디랙 델타 함수에 대한 내용입니다. 먼저 디랙 델타 함수의 정의를 봅시다

 

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(i) Definition

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t=a라는 임의의 점에서 함숫값이 매우 큰 함수를 디랙 델타 함수라고 합니다. 짧은 시간 안에 강한 임펄스가 가해진다는 뜻에서 Short Impluse 라고도 합니다. unit step function과 유사하게 unit impulse function 라는 이름도 가지고 있습니다.

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디랙 델타 함수는 여러 근사 표현을 가지고 있는데, 공업수학에서는 그중 가장 간단한 표현을 사용합니다

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위와 같이 fk(t-a)를 설정한 후 극한을 취해 디랙 델타 함수를 표현할 수 있습니다.

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출처 : advanced engineering mathematics, Erwin Kreyszig

 

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k의 값에 관계 없이 fk(t-a)와 t축이 이루는 면적은 항상 1입니다. 즉, 디랙 델타를 적분하면 1이라는 값을 얻습니다.

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(ii) Application

 

첫 번째 활용은 라플라스 변환입니다.

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디랙 델타를 라플라스 변환시켜봅시다.

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우변은 아래 식을 사용해 나타내었습니다.

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적분구간은 [a,a+k]로 한정됩니다.

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익숙한 지수함수 극한 꼴이 나왔네요. 고등학교 미적분 수준의 간단한 극한 계산입니다.

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e^-as 어디서 많이 보지 않았나요? 네 t-shifting 과 유사한 형태입니다.

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https://blog.naver.com/subprofessor/222234046188

[공업수학] 6.3 단위계단함수, t-shifting

 

 

 

 

[공업수학] 6.3 단위계단함수, t-shifting

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혼동하지 않도록 조심합시다. 혼동을 피하기 위해 다음에 나오는 "Sifting"과 같은 이름을 사용합니다.

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두 번째 활용은 함수와 디랙 델타의 곱입니다.

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위 식을 Sifting Property 라고 합니다. Sifting이라는 단어는 없는 단어이지만, Shifting(t-shifting / s-shifting)과 구별하기 위해 sifting property라는 이름이 붙었습니다.

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증명하는 과정은 다음과 같습니다.

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이 Sifting Property를 이용하면 디랙 델타의 라플라스 변환을 보다 쉽게 구할 수 있습니다.

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세 번째 활용은 미분방정식에서의 활용입니다.

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다음과 같이 input이 short impulse 인 상미분방정식을 풀어봅시다.

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양변에 라플라스 변환을 취하고 정리하면 다음과 같습니다.

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이제 양변에 역변환을 취해줍시다.

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따라서 다음과 같은 y(t)를 얻습니다.

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라플라스 변환표와 s-shifting / t-shifting 에 관한 내용은 아래 링크 참조 바랍니다.

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https://blog.naver.com/subprofessor/222165745415

[공업수학] 6.1 라플라스 변환, 선형성, 일차변환 (s-shifting)

 

https://blog.naver.com/subprofessor/222234046188

[공업수학] 6.3 단위계단함수, t-shifting

 

 

 

마지막 역변환 때 조심해야 하는 게,

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이 부분입니다. s-shifting과 t-shifting이 섞여 있는 형태인데, s-shifting에 의해 곱해지는 e^-2t에는 t-shifting이 적용되지 않는다는 점 조심해 주셔야 합니다.

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오늘 배운 디랙 델타(Short Impulse)는 역학, 전자기학 가리지 않고 사용되는 중요한 개념입니다. 제 글이 디랙 델타와 라플라스 변환을 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다.