[편입수학] 한양대 2023학년도 행렬식 구하기

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출

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선형대수학 과목에 속한 행렬식 문제가 나왔습니다.

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1. Main Concept

행렬식의 성질을 이용해 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 문제가 출제되었습니다.

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연립방정식의 해를 구할 때 처음 등장한 기초 행연산(기본행연산; Elementary Row Operation)이죠

기존의 행렬을 A, 기초행연산을 수행한 행렬을 B라고 하면 다음 관계가 성립합니다

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(1) 은 두 행의 위치를 바꾸는 interchange

(2) 은 한 행에 상수를 곱해 다른 행에 더하는 replacement

(3) 은 한 행에 상수배를 곱하는 scaling

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2. Problem

이 문제는 거기에 더해 "삼각행렬의 행렬식"이라는 개념이 추가되었습니다.

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왼쪽 위 1행 1열의 3이 없다면 단순히 대각성분들의 곱으로 행렬식을 계산할 수 있는데, 그것이 어려운 상황입니다.

그렇기 때문에 기초행연산을 수행해서 주어진 행렬을 간단하게 만들고 나서 행렬식을 계산합니다.

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Row replacement를 수행하여((-3) x 6행을 1행에 더하여 1행 1열의 3을 없애기 위함) 삼각행렬을 만들고

그 행렬식이 기존의 행렬식과 같기 때문에 (Row replacement시 행렬식의 값이 변하지 않음)

대각성분들을 곱해 답을 얻을 수 있습니다.

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물론 생각나지 않는 경우 통상적인 방법인 여인자 정리(여인수 전개, Cofactor Expansion)를 사용해 풀 수도 있습니다.

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참고:

https://ximera.osu.edu/la/LinearAlgebra/DET-M-0030/main

DET-0030: Elementary Row Operations and the Determinant