[건국대 편입 기출] 매개변수 곡선의 접선

#편입수학

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건국대학교 입학처에 게시되어 있는 2023학년도 자연계 기출문제입니다.

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문제를 빠르게 풀어나가기 위해서는 어떤 개념으로 구성된 문제인지를 빠르게 파악해야 합니다.

편입시험에서는 메인이 되는 개념 한 가지를 중심으로 문제를 구성하기 때문에

중심이 되는 키워드를 파악하는 것이 중요합니다.

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이 문제의 <키워드>는 "접선"입니다.

vector calculus 단원의 parametric curve 에 속하는 문제이며

평면과 평행이라는 기초개념이 <조건>으로 제시되었습니다.

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> 매개변수 곡선의 접선

기본적으로 접선은 직선이기 때문에

3차원 상에서 직선의 방정식 표현부터 떠올려봅시다.

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여기서 (x1, y1, z1)는 직선이 지나는 점을, (a,b,c)는 직선의 방향벡터입니다.

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접선의 경우 접하는 점인 "접점"이 바로 (x1, y1, z1)이 되고 "접선벡터"가 (a,b,c)가 되겠죠

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> 평면과 평행

직선의 특성은 방향벡터, 평면의 특성은 법선벡터(normal vector)가 대표합니다.

 

 

 

 

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평면과 평행하다는 것은 바로 이 법선벡터와 수직이라는 말이기 때문에

직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터가 수직이라는 조건을

"방향벡터와 법선벡터의 내적이 0이다" 라는 관계식으로 해석해주시면 됩니다.

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평면의 법선벡터는 평면의 방정식에서 x,y,z의 계수와 같기 때문에

이 문제에서는 <1,3,0>이 됩니다.

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> 곡선의 접선벡터

매개변수로 표현된 곡선 위의 한 점에서의 접선벡터는 그 곡선을 매개변수로 미분한 것입니다.

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이 문제의 경우 임의의 시점 t에서 접선벡터는 다음과 같습니다.

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본격적으로 문제를 풀어봅시다.

1) 접선벡터 구하기

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2) 법선벡터 구하기

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3) 두 벡터가 수직 -> 내적이 0

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이 삼각방정식을 풀면 t를 구할 수 있습니다.(t의 범위가 문제에서 0 ≤ t ≤ π 이기 때문에 t = π/3 )

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4) r(t)에 대입하여 점 P 구하기

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이렇게 탄탄한 개념을 기반으로 풀어나가면 1분도 걸리지 않는 쉬운 문제였습니다.