#열전달
transient (비정상상태)문제는 온도분포가 공간만의 함수가 아니라 시간에 대해서도 변화하는 문제입니다. 일정 온도를 유지하는 것이 아니라 냉각, 가열 같이 온도가 시간에 따라 변하는 문제를 다루는데, 크게 세 가지 방법으로 이 transient 문제를 해석할 수 있습니다.
1) Lumped Capacitance Method : 공간의 영향이 작은 경우 T(t, x, y, z) => T(t)
2) Analytical Solution : 일반적인 경우, 푸리에 급수 형태의 해 => one term approximation
3) Similarity Solution : semi-infinte bar에 대한 해
이 중 오늘은 첫 번째 방법은 Lumped capacitance method에 대해 알아보겠습니다.
1. Lumped Capacitance Method
Lumped Capacitance Method, 통칭 LCM란 하나의 덩어리로 고체를 취급해 온도분포가 공간에 따른 변화가 거의 없고 오직 시간에 따라서만 변한다고 가정하는 방법입니다.
쉽게 말해서 유체 속의 고체를 하나의 "점"처럼 생각한다는 것입니다.
그렇게 되면 고체 내부의 전도 효과를 무시하고 유체와의 대류 효과가 지배적인 경우로 문제를 단순화할 수 있습니다.
주로 열처리한 구체를 식히거나 수조에 어떤 물체를 넣어 냉각시키는 상황에 적용합니다.
> LCM : 유체 안에 놓인 고체의 온도분포 식
Bi : Biot number
Fo : Fourier number
이 방법을 사용할 수 있는 조건은 무차원수인 Biot number와 관계가 있습니다
h는 대류열전달 계수, k는 고체의 전도 열전달 계수, L은 특성길이(부피/표면적)입니다.
Biot number가 1보다 매우 작은 경우에 이 LCM을 사용할 수 있습니다.
열 회로 해석에서 전도와 대류의 열저항은 다음과 같습니다
즉 Biot number가 의미하는 것은 대류 열전달 저항 대비 전도 열전달 계수입니다.
Bi >> 1 이면 전도를 고려해야 하는 상황이 되어 고체 내부 온도분포가 크게 차이나게 됩니다.
참고로 푸리에 넘버는 다음과 같이 정의됩니다
2. Derivation
유도를 위해 에너지 보존 법칙을 사용합시다
"냉각" 상황이라 가정합시다.
들어오는 에너지(Ein)와 열 생성(Eg)는 없고 대류에 의해 열이 빠져나가고 있으므로 아래와 같이 식이 정리됩니다.
이때 나가는 에너지와 저장량(storage 항)은 다음과 같습니다.
물성치가(밀도, 비열)이 일정하다는 가정 하에 아래와 같이 정리됩니다.
여기서 ρ는 고체의 밀도, V는 고체의 부피, C는 고체의 비열입니다.
다음 그림과 같이 시간에 대한 1계 미분방정식을 얻게 되는데
excess temperature θ(t)를 정의하면 간단히 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
<참고>
θ(0)가 상수이기 때문에
이것을 양변에 나눠주어 최종적으로 시간에 따른 온도분포를 구할 수 있습니다.
As는 대류가 일어나는 고체의 표면적을 의미합니다.
3. Example
(예제) 직경이 12mm인 금속 구체가 어닐링 공정 중 1150K 까지 가열되었다.
주변 공기 온도가 325K이고 대류열전달 계수와 금속 구체의 물성치가 주어질 때,
구체가 400K로 식는 데까지 걸리는 시간을 구하여라.
(i) Check Biot Number
먼저, LCM을 사용하기 전에 Biot number를 구해 확인해야 합니다.
여기서 L이 단순히 길이가 아니라 체적(부피)을 표면적으로 나눈 "특성길이"임을 주의해야 합니다.
Bi << 1 이므로 LCM을 사용할 수 있습니다.
(ii) LCM
이 예제는 시간 t를 구하는 문제고, 위 LCM 공식에 대입할 물성치와 온도는 모두 문제에서 주었습니다.
좌변에 들어갈 온도들은 다음과 같습니다.
최종 온도, 초기 온도, 주변 공기 온도와 물성치들을 대입하면 다음과 같이 t를 구할 수 있습니다.
양변에 자연로그(ln)을 취하고
t에 대해 정리합니다.
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