CONTENTS
0. Introduction
1. Derive heat equation
2. Heat equation for specific case
3. Cylinderical, spherical coordinates
0. Introduction
energy equation으로부터 heat diffusion equation을 유도해보겠습니다.
heat equation
heat equation(heat diffusion equation)이란 온도분포 T = T(x,y,z,t)에 대한 미분방정식을 말합니다. 온도분포가 시간(t)과 공간(x,y,z)에 대한 함수라는 것을 알지만 그 관계를 규명하는 명확한 미분방정식이며 에너지 관계식(에너지 방정식 ; 에너지 보존법칙)으로부터 유도됩니다.
1. Derive
먼저, energy equation으로부터 control surface를 통해 control volume에 출입하는 energy + control volume 내의 energy generation(Eg) = control volume 내의 storage 되는 energy 임을 기술할 수 있습니다.
쉽게 말해 좌변은 (Influx) - (Outflux) + (Generation), 우변은 (Storage) 텀으로 구성된 것입니다.
(들어온 에너지) - (나간 에너지) + (에너지 생성) = (에너지 저장)
여기서 검사체적(질량을 가지는 어떤 물질) 내의 에너지는 다음과 같이 표현됩니다. C는 비열(specific heat), V는 검사체적의 부피입니다.
이것에 시간에 대한 편미분을 취해 우변의 energy storage term을 표현할 수 있습니다.
다음으로는 좌변의 influx와 outflux를 표현해야 하는데, 아래 그림과 같은 검사체적에 출입하는 에너지를 생각해봅시다.
heat transfer, Incropera. 7th
influx와 outflux가 다음과 같이 표현됩니다. 여기서 방향을 고려하지 않는 것은 처음 고려된 energy equation이 CV를 대상으로하는 "scalar equation"이기 때문입니다.
그리고 outflux는 dx,dy,dz 만큼 떨어진 위치에서의 heat 이니 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
qx, qy, qz가 소거되므로 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
여기서 열전도 관계식을 적용하면
전도 heat flux는 다음과 같습니다. k는 thermal conductivity입니다.
여기에 conduction heat이 지나는 단면적을 곱해주면 heat rate (q)를 얻습니다.
앞선 influx와 outflux는 다음과 같이 정리됩니다.
다음은 generation term을 정리해봅시다.
검사체적 내부에서 volumetric heat generation이 q'으로 표현된다고 하면(단위 : W/m^3 ) 다음과 같이 정리됩니다.
지금까지의 과정을 종합하면 다음과 같습니다.
양변의 dxdydz를 나눠주면 다음과 같이 열확산 방정식(열전도)을 얻을 수 있습니다.
2. Case
실제 재료에서는 이방성을 가지는 경우가 많기 때문에 k가 상수라는 가정 없이는 미분기호 밖으로 나올 수 없습니다.
※ + constant k
del 연산자를 사용하면 다음과 같이 간결하게 정리할 수 있습니다.
※ + no heat generation (q = 0)
del 연산자를 사용하면 다음과 같이 간결하게 정리할 수 있습니다.
heat diffusivity를 이용하면 다음과 같이 더 간결하게 정리할 수 있습니다.
※ + steady state(T = T(x,y,z))
또는
3. Cylinderical, spherical coordinates
여기까지는 x,y,z 직교좌표에 대한 heat equation이었고 원통좌표계(cylindrical coordinate), 구면좌표계(spherical coordinate)에 대한 열확산 방정식은 다음과 같습니다.
> 원통좌표계
> 구면좌표계
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