#열전달
1. 직교좌표계 : Rectangular Coordinates
먼저, 직교좌표계의 확산방정식을 살펴봅시다.
steady, 1D, constant k인 경우 다음과 같이 정리됩니다.
2계 상미분 방정식을 풀면 다음과 같이 온도분포를 구할 수 있습니다.
<steady, 1D, constant k 조건에서 radial temperature distribution>
C1, C2는 적절한 경계조건이 주어지면 결정할 수 있습니다.
이 결과로부터 알 수 있는 것은 내부에 heat generation(혹은 heat sink)이 존재한다면 온도분포는 기존의 steady state일 때와 달리 선형이 아니라 이차곡선이 된다는 것입니다.
(예제 1) 아래 그림과 같이 열전도도가 다른 두 물질 A,B로 이루어진 벽에서 물질 A부분에서만 균일한 heat generation이 존재한다. 열이 다른 방향으로 분산되지 않고 오직 x방향으로만 흐른다고 가정할 때 T0, T1, T2 를 구하여라
대류에 의해 내부에서 발생된 heat 이 cooling 되며 balance를 이루고 있는 상황입니다.
문제에서 구해야 하는 것은 온도분포와 T0, T1, T2 입니다.
A 물체에서는 heat generation(volumetric heat generation)이 있고, B 물체에서는 heat generation이 없습니다.
또한 다른 물성을 가지는 물질들로 구성된 복합체의 경우 heat equation을 A, B 각각에 대해 따로 세워주어 문제를 해결해야 합니다.
1) heat equation for A
그리고 다음과 같은 경계조건을 얻습니다.
dT/dx = 0인 조건은 단열인 경우 경계조건입니다(q = -k dT/dx, q = 0)
이것을 적용하면 물체 A의 온도분포를 표현할 수 있습니다.
또한 경계조건으로부터 온도에 관한 관계식 하나를 얻습니다.
2) heat equation for B
마찬가지로 2계 상미분방정식의 해를 구해줍니다.
이번에는 다음과 같은 경계조건을 생각해볼 수 있습니다.
첫 번째 경계조건은 두 물체가 맞닿아있는 x = 0.05 지점에서 온도가 같다는 것이고
세 번째 경계조건은 두 물체가 맞닿아있는 x = 0.05 지점에서 heat flux가 같다는 것입니다.
heat flux에 푸리에 법칙을 적용하면 다음과 같이 경계조건이 해석됩니다.
T(0.05)와 T(0.07)조건을 사용해 C1, C2을 표현하고
heat flux 조건을 적용합니다.
여기서 두번째 관계식을 얻습니다.
3) Convection
우리가 알고 싶은 것은 T0, T1, T2 세 가지인데 식은 아직 두 개밖에 없습니다.
마지막 세 번째 관계식은 x = 0.07m 표면에서 대류 열전달과 전도 열전달의 balance로부터 얻을 수 있습니다.
지금까지 얻은 관계식 세 개를 정리해봅시다.
(2)와 (3)을 연립하면 T2를 구할 수 있습니다.
문제의 조건에서 T∞ = 30℃ 이므로 주어진 상수들을 대입해 다음과 같이 T2를 구할 수 있습니다.
마찬가지로 T2와 주어진 상수들을 사용해 T1과 T0을 구할 수 있습니다.
> T1
> T0
따라서 T0 = 140℃, T1 = 115℃, T2 = 105℃ 입니다.
2. 원통 좌표계 : Cylindrical Coordinates
원통 좌표계에서 확산 방정식은 다음과 같습니다.
steady, 1D, constant k인 경우 다음과 같이 정리됩니다.
일반적인 경우(for general case) r = 0 인 원통의 중심부에서 heat flux가 0이기 때문에 (dT/dr = 0) C1 = 0입니다.
때문에 아래와 같이 온도분포가 이차곡선의 양상을 보이게 됩니다.
<steady, 1D, constant k 조건에서 radial temperature distribution>
(예제 2) 길이가 L, 반지름이 ro인 도선의 내부 열생성량이 q'이고 표면이 대류에 의해 냉각되어 표면온도가 일정하게 유지되고 있다. 도선의 길이방향 단면이 완벽하게 단열되어 있다고 가정한다면, 즉 모든 열 출압이 옆면을 통해서 일어난다고 할 때 표면 온도를 대기온도 T∞와 주어진 물성들로 표현하여라.
1) 경계조건을 정리합니다.
표면 온도와
표면에서 heat flux가 이루는 balance를 경계조건으로 잡습니다.
2) 온도분포식에 경계조건을 적용
steady, 1D, constant k 조건에서 도선의 중심으로부터 거리에 따른 온도분포는 다음과 같습니다.
경계조건을 적용해줍시다.
이를 정리하면 표면온도를 표현할 수 있습니다.
첫 번째 온도 경계조건은 사용되지 않았는데, 그저 heat flux만을 사용했기 때문입니다.
이것만으로도 문제가 요구하는 것을 구할 수 있지만 추가적으로 도선 내부의 전체적인 temperature distribution을 알기 위해서는 해당 경계 조건을 사용해야 합니다.
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