- 저자
- Singiresu S Rao
- 출판
- Pearson Education
- 출판일
- 2019.02.28
#기계진동
외력이 존재하는 진동을 강제진동(Forced Vibration)이라 합니다.
강제진동에 관한 소개는 이전 게시글 참조 바랍니다
[기계진동] 1차원 강제진동 - 비감쇄모델
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이번 글에서는 damping 항(cx')이 추가된 감쇄모델을 살펴보겠습니다.
목차
1. 감쇄모델의 주요 변수
2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해
3. 전체 해(Total Response)
4. 결론 및 예제
1. 감쇄모델의 주요 변수
이번에도 harmonic excitation 상황을 보겠습니다(외력이 삼각함수)
운동방정식은 다음과 같습니다.
댐퍼가 없는 스프링-질량 시스템에서 새로 도입된 변수는 frequency ratio와 static deflection이었습니다.
댐퍼가 있는 스프링-댐퍼-질량 시스템에서는 damping ratio를 추가로 사용합니다.
자유진동에서 사용했었죠
[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델
#기계진동 자유진동(Free Vibration)이라 함은 외력이 작용하지 않는 상황입니다. 즉 우변이 0인 제차방...
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2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해
제차해(xh)는 시간이 지나면 자연스럽게 0으로 수렴하게 되기 때문에(자유진동-감쇄모델 게시글 참조) 우리의 주 관심사는 특수해가 됩니다.
xp를 아래와 같이 가정하고 대입합니다.
좌변과 우변을 비교합니다.
구해야 하는 미지수는 진폭 X와 위상 Φ 입니다.
(2) 로부터 위상 Φ 에 관한 정보를 얻을 수 있습니다.
식 1과 2를 연립해 진폭 X를 결정할 수 있습니다. 여기서 위 삼각형으로부터 얻은 sin 값을 사용해줍니다.
이것을 계산하여 처음 설정한 xp에 대입하면 해를 얻을 수 있는데
앞서 소개한 frequency ratio, damping ratio, static deflection을 사용해 표현하면 다음과 같습니다.
마찬가지로 분자, 분모를 k를 나눠서 정리한 것이고 과정은 다음과 같습니다.
즉 다음과 같이 바뀐 것입니다.
이것이 의미하는 바는 외력 F에 의해 삼각함수 형태의 steady state response를 얻게 되고
이 steady state response의 주요 특성인 진폭과 위상은 frequency ratio와 damping ratio의 영향을 받게 된다.
1) 같은 r값이라면 ξ가 클수록 진폭이 작아집니다(damping 이 효과가 커질수록 진폭이 감소)
2) 진폭 X가 최대가 되는 조건은 다음과 같습니다. (dX/dr = 0로부터 계산)
또는
물론 r>0인 범위에서만 유효합니다.
3) r값에 따라 위상이 달라집니다.
transient response는 초기조건으로 인한 초기의 안정되지 않은 거동을 의미하고
steady state response는 초기조건으로 인한 transient 효과가 미미한 시점부터의 규칙적인 거동을 의미합니다.
3. 전체 해(total response)
제차해와 특수해의 위상과 진폭이 중복되기 때문에 제차해에다가 하첨자0을 붙이겠습니다.
4. 결론 및 예제
1) 감쇄항 cx'의 효과는 damping ratio(ξ)로 표현
2) 특수해와 전체해
X0와 Φ0는 초기조건을 넣어서 정해주면 됩니다.
(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system에 외력 F(t) = 200 cos 10t N이 작용하고 있다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라
x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s
X(t)는 다음과 같습니다.
(1) 운동방정식으로부터 r, ξ 구해서 Xp 계산하기
이것을 공식에 대입합니다.
NOTE : 위상 Φ
(2) 전체해 구하기(total response)
위 공식에서 우리가 모르는 것은 wd, X0, Φ0 입니다.
wd는 쉽게 구할 수 있고
X0, Φ0 은 초기조건을 사용해 직접 구해주어야 합니다.
x'(0)을 사용하기 위해 전체 해를 미분합니다.
t = 0을 대입합니다.
(1)로부터
(2)로부터
이것의 양변을 각각 제곱해 더하면 X0를 구할 수 있습니다.
(2) phi를 구합니다.
(2)식에서 (1)식을 나누면 됩니다.
(3) total response는 다음과 같습니다.
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