#기계진동
외력이 존재하는 진동을 강제진동(Forced Vibration)이라 합니다.
비감쇄모델(Undamped System)을 먼저 배우고 다음 글에서 감쇄모델(Damped System)을 살펴보도록 하겠습니다.
목차
1. 강제진동에 대해
2. 1차원 강제진동 : 스프링-질량 시스템의 해
3. 간소화된 공식
4. r값에 따른 해석(resonance)
5. 결론 및 예제
1. 강제진동에 대해
질량체에 가해지는 외력에는 여러가지 종류가 있습니다.
일정한 힘(상수함수), 사인파(삼각함수), 일반적인 외력(general forces) . . .
여기서는 일단 삼각함수 외력(그 중에서도 cos) 만 다루겠습니다.
사실상 어떤 함수들 푸리에 급수를 이용하면 삼각함수의 합으로 표현할 수 있기 때문에
기본적으로 단일 삼각함수에 대한 해석을 할 수 있어야 합니다.
여기서 중요한 것은 "고유 진동수(natural frequency) wn과 외력이 가지는 진동수w 가 다를 수 있다는 것" 입니다.
운동방정식은 다음과 같습니다.
위 그림에서 FBD와 운동방정식의 유도는 아래 글 참조 바랍니다
https://blog.naver.com/subprofessor?Redirect=Log&logNo=222906562044&from=postView
[동역학] 전달함수(Transfer Function) 정의, 연립 운동방정식 예제
#동역학 #시스템해석 라플라스 변환은 아래 게시글 참조 https://blog.naver.com/subprofessor/22216574541...
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2. 1차원 자유진동 : 스프링-질량 시스템의 해
2계 비제차 방정식은 제차해 (xh)를 먼저 구하고 특수해(xp)를 구하는 순서로 풉니다.
https://blog.naver.com/subprofessor?Redirect=Log&logNo=222144868605&from=postView
[공업수학] 3.2 고계(고차)미분방정식 : 비제차 방정식
#공업수학 이제 정말 마지막 장입니다. 비제차 방정식의 해를 구하는 미정계수법과 매개변수법을 보는 건 ...
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1) 제차해
해를 가정하고
대입합니다.(제차해는 우변 = 0이라 두고 얻은 해입니다)
따라서 제차해는 다음과 같습니다.
2) 특수해
특수해 xp는 우변의 비제차항을 보고 xp를 가정하는 것입니다.
진동수 w는 따라가되 진폭 X는 미지수로 설정하고 미분방정식에 대입합니다.
따라서 특수해는 다음과 같습니다.
3) 최종해의 표현
A와 B는 초기조건으로부터 구할 수 있습니다.
3. 간소화된 공식
보통 위와 같이 표현하지는 않고 frequency ratio(r)와 static deflection(δ)를 사용해 표현합니다.
하첨자 st는 static deflection의 약자입니다.
이것을 이용해 다음과 같이 특수해를 간단히 표현할 수 있습니다.
우변의 분자, 분모를 k로 나누면
분모의 m/k가 다음과 같이 정리되고
frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
이렇게 표현했을 때의 장점은 여러 가지가 있지만
- "진동수 비"로 해의 양상을 쉽게 관찰할 수 있다
- 차원(단위)이 단순해진다
등이 있겠습니다.
전체 해(total response)는 다음과 같습니다.
이것을 초깃값으로 표현해봅시다.
초깃값 x(0)를 간단히 x0라 표현하고 A로 정리합니다.
마찬가지로 B를 구합니다.
따라서 total response는 다음과 같습니다.
frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 나타내면 다음과 같습니다.
4. r값에 따른 해석(resonance)
위 식에서 분모가 0이 되는 r = 1을 기준으로 응답의 양상이 다르게 됩니다.
(i) 0<r<1 인 경우 F(t)와 위상이 동일하며 진폭이 다릅니다.
여기서 위상이 동일하다는 뜻은 F(t)가 위아래로 움직이는 움직임과 질량체 m의 움직임이 동일하다는 뜻입니다.
외력이 위로 작용하면 질량체 m도 위로 움직이고, 아래로 작용하면 질량체 m도 아래로 움직입니다.(최소 특수해 관점에서는)
(ii) r>1 인 경우 coswt 항의 계수(진폭)가 마이너스(-)가 되기 때문에 위상이 반전됩니다.
위상이 반전된다는 뜻은 F(t)가 위아래로 움직이는 움직임과 질량체 m의 움직임이 반대로라는 뜻입니다.
외력이 위로 작용하면 질량체 m은 아래로 움직이고, 아래로 작용하면 질량체 m은 위로 움직입니다.
(iii) r = 1인 경우가 바로 공명현상(resonance)인데 공명현상에서의 해는 r -> 1로 극한을 보내 구할 수 있습니다.
아래 식에서 시작합니다.
1) cos 항을 정리합니다.
2) 우변의 세 번째 항에 극한을 취합니다(r->1 은 w->wn을 의미합니다)
여기서 0/0꼴이므로 로피탈의 정리를 사용해줍니다.
포인트는 변수가 "w"라는것입니다. 분자에 있는 coswnt 항은 상수취급이 되어 w에 대해 미분하면 0이 됩니다.
정리하면 다음과 같습니다.
r = 1인 경우 공명항이 tsint 이기 때문에 진폭이 무한대로 증가하게 됩니다.
때문에 설계시 input 진동수와 공명을 피할 수 있도록 고유진동수를 잘 고려해야 합니다.
5. 결론 및 예제
harmonic input에 대해 total response는 다음과 같습니다.
frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 나타내면 다음과 같습니다.
r>1인 경우 위상이 반대로 뒤집히고
r=1인 경우 공명현상이 발생합니다.
공명이 발생할 경우 해는 다음과 같습니다.
(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system 에 F(t) = 400cos10t N의 외력이 가해진다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라
x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s
위 식을 쓸건데, 초기조건을 정리하고 필요한 값들을 계산해주면 간단히 끝납니다.
끝났습니다. 이제 공식에 대입해줍시다.
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