[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델

#기계진동

 

자유진동(Free Vibration)이라 함은 외력이 작용하지 않는 상황입니다.

즉 우변이 0인 제차방정식이라는 거죠

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목차

1. 1차원 감쇄모델

2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

3. 결론과 예제

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1. 1차원 감쇄모델

1차원 감쇄모델은 다음과 같이 스프링 요소, 댐퍼 요소, 질량 요소로 구성됩니다

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운동방정식은 다음과 같습니다.

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2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

이 운동방정식의 해는 아래와 같은 과정으로 구할 수 있습니다

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해를 설정하고

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이를 미분방정식에 대입합니다.

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위 이차방정식을 풉니다

 

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그럼 근호 안의 부호에 따라 세 가지 해의 양상이 나타납니다.

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이 세 가지 경우 중 우리가 가장 많이 접하게 되는 것은 세 번째 케이스입니다.

삼각함수와 지수함수의 곱으로 표현된 저 형태가 가장 안정적이고(기계장치에 무리를 주지 않으며) 실현 가능성이 큰 해입니다.

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아래 그림에서 노란색 커브를 Envelope Curve라 합니다.

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이 세 가지 해가 갖는 물리적 의미는 감쇄기가 달려있으면 그 정도에 관계없이 항상 수렴하는 방향으로 운동하게 된다는 것입니다.

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case 3의 해의 표현의 마지막 부분을 자세히 설명하겠습니다.

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꼬불꼬불한 것은 "xi"라고 읽고 damping ratio입니다.

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원래 damping ratio의 정의는 아래와 같이 미분방정식의 c를 critical damped 상황일 때의 c값으로 나눈 것입니다.

 

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위 형태의 미분방정식에서 적절히 수들을 정리하면 아래와 같이 정리되는데

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wn을 natural frequency, wd를 damped natural frequency라 합니다.

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참고로 natural frequency의 단위는 [1/s] (또는 rad/s) 입니다.

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C1과 C2는 미분방정식의 초기조건(변위x(0)와 속도 x'(0)) 을 통해 구할 수 있습니다.

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다른 방식으로 아래와 같이 하나의 삼각함수로 표현할 수 있습니다.

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코사인으로 표현하고 싶다면 아래 표현을 사용합니다.

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C1, C2 를 초기조건으로부터 구하는 공식이 있긴 합니다만 저는 그때그때 주어지는 초깃값을 넣어서 풀었습니다.

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문제를 풀 때 이 식을 직접 유도하는 상황은 없구요 공식을 외워서 초기조건과 물성치(m, c, k)만 대입해서 해를 구하면 됩니다.

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(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system의 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s

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아래 공식을 사용할 건데 필요한 값들을 모두 계산해주겠습니다.

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먼저 damping ratio와 natural frequency를 계산하고

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damped natural frequecy를 구합니다.

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다음으로는 C1과 C2를 구합니다.

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이를 해 공식에 대입하면 다음과 같이 x(t)를 구할 수 있습니다.

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