2계 미분방정식을 공부하는 Chapter 2에서는 제차방정식을 배우고 나서 비제차 방정식을 다룹니다. 크게 두 가지 형태의 미분방정식을 다루는데, 오늘 배울 Constant Coefficient와 Euler-Cauchy 방정식입니다. ODEs with Constant Coefficients는 말 그대로 y 또는 y의 도함수 앞에 상수계수만 붙어있는 미분방정식을 의미하는 간단한 방정식을 의미합니다. 큰 어려움은 없을 텐데, 중간에 나올 오일러 공식(Euler's Formula)에 대한 개념이 부족한 사람은 아래 링크를 참조 바랍니다
[공업수학] 4. 오일러 공식(Euler's Formula)
세상에서 가장 아름다운 등식으로도 불리는 Euler's Formula 에 대해서 알아봅시다 ※이 글을 이해하기 위해서는 테일러 급수전개에 대해 알고 있어야 하므로, 모르는 사람들은 아래 링크를 참조
subprofessor.tistory.com
결론부터 말하자면, 상수계수로만 이루어진 미분방정식은 밑이 자연상수 e인 지수함수꼴로 해를 가정하고 접근합니다. 지난 시간에 알아본 예제를 봅시다
해를 다음과 같이 가정합니다(람다
는 상수)
가정한 해를 미분해서 주어진 방정식에 대입하면 다음과 같습니다
이런 느낌으로 상수계수로만 이루어진 미분방정식을 다루면 됩니다.
(i) Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients
상수계수만을 가지는 제차 상미분 방정식은 다음과 같은 일련의 과정으로 해를 구할 수 있습니다
이는 2계 미분방정식이 아니더라도 3계, 4계 등 제차 상미분 방정식이라면(상수계수만을 가지는) 적용할 수 있는 방법입니다.
위 사진에서 아래부터 두 번째 줄에 위치한 람다의 2차 방정식을 "특성방정식"(Characteristic Equation)이라고 부릅니다. 이 특성방정식의 해가 서로 다른 두 실근이냐, 중근이냐, 허근이냐에 따라 해의 형태가 달라집니다. 즉 상수계수를 가지는 미분방정식의 해는 세 가지 형태로 국한됩니다
<CASE I>
<CASE II>
갑자기 왜
가 기저로 등장했는지는 다음 Reduction of Order를 통해 알 수 있습니다
Reduction of Order는 한 가지 해를 알고 있을 때 다른 기저를 찾을 수 있는 도구라는 것 다시 한번 기억해 주시고요
<CASE III>
가,
즉 특성방정식의 해가 허근일 경우에는 오일러공식을 이용해서 삼각함수 꼴의 기저를 가짐을 알 수 있습니다.
상수계수만을 가지는 2계 선형 제차 미분방정식의 해는 이상 세 가지 경우밖에 없습니다. 다음 포스팅에서는 예제들을 풀어보면서 오늘 배운 내용을 적용해 봅시다
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