SUBORATORY

Fortran DNS 푸아송 솔버 성능 분석 및 최적화

섭교수 — Wed, 3 Sep 2025 16:09:30 +0900

Fortran DNS 푸아송 솔버 성능 분석

Fortran DNS 푸아송 솔버 성능 분석 및 최적화

계산 속도 향상을 위한 다각적 접근

개요: 코드의 목적과 접근 방식

제공된 Fortran 코드는 전산유체역학(CFD) 분야의 직접 수치 모사(DNS)에서 핵심적인 부분인 푸아송 방정식(Poisson Equation)을 해결하기 위한 고성능 솔버입니다. 이 코드는 z-방향으로 균일한 격자를 가정하여 계산 효율을 극대화하는 독창적인 하이브리드 접근법을 사용합니다. z-방향으로는 고속 푸리에 변환(FFT)을 적용하여 3차원 문제를 2차원 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equations)의 집합으로 변환합니다. 변환된 각 2차원 문제는 x-방향으로 멀티그리드(Multigrid) 기법을, y-방향으로는 TDMA(Tri-Diagonal Matrix Algorithm)를 결합하여 해결합니다. 이 구조는 OpenMP를 통해 공유 메모리 시스템에서 병렬화되어 계산 속도를 높입니다. 본 분석의 목표는 이 정교한 솔버의 성능을 한 단계 더 끌어올릴 수 있는 방안을 모색하는 것입니다.

코드 분석: 솔버 워크플로우

솔버는 `POISSON` 서브루틴을 중심으로 다음과 같은 3단계 워크플로우를 통해 해를 구합니다.

입력

`DIVGSUM` (속도 발산 항)

→

⚙️

계산 과정

Forward FFT (z-축): 3D 데이터를 2D 데이터 집합으로 변환
2D Solver (x-y 평면): 각 파수(wavenumber)에 대해 `MG2D` 또는 `GSOR2D` 호출
Inverse FFT (z-축): 계산된 2D 해를 다시 3D 공간으로 변환

→

출력

`PHI` (유사 압력)

성능 병목: 어디가 느릴까?

1. FFT 라이브러리

코드에 포함된 `FFTE` 라이브러리는 2004년 버전으로, 최신 CPU의 SIMD 명령어(AVX 등)나 캐시 구조에 최적화되어 있지 않을 가능성이 높습니다. FFT는 계산 집약적이므로 이 부분이 전체 성능을 크게 좌우할 수 있습니다.

2. 병렬화 모델의 한계

OpenMP는 단일 노드(shared memory) 환경에서만 작동합니다. 더 큰 규모의 시뮬레이션을 위해 여러 노드로 확장하려면 MPI와 같은 분산 메모리 병렬화 모델이 필요합니다. 현재 구조로는 스케일업에 명확한 한계가 존재합니다.

3. 메모리 접근 패턴

다차원 배열을 처리하는 과정, 특히 FFT 전후의 데이터 재배열(`ZTRANSMUL`) 단계에서 캐시 비효율성(cache miss)이 발생할 수 있습니다. Fortran의 열 우선(column-major) 저장 방식을 고려한 최적의 루프 구성이 아닐 경우 성능 저하가 일어납니다.

4. 하드웨어 활용

푸아송 솔버와 같은 규칙적인 격자 기반의 계산은 GPU에서 엄청난 성능 향상을 기대할 수 있습니다. 현재의 CPU 기반 코드는 최신 가속기 하드웨어의 잠재력을 완전히 활용하지 못하고 있습니다.

최적화 전략: 어떻게 빠르게 할까?

전략: 최신 FFT 라이브러리 교체

가장 빠르고 확실한 성능 향상 방법은 내장된 `FFTE`를 최신 고성능 라이브러리로 교체하는 것입니다. FFTW(Fastest Fourier Transform in the West)나 Intel MKL은 최신 CPU 아키텍처에 완벽하게 최적화되어 있어, 코드 변경을 최소화하면서도 상당한 속도 향상을 기대할 수 있습니다.

적용 방법

시스템에 FFTW 또는 MKL 라이브러리를 설치합니다.
컴파일 시 해당 라이브러리를 링크합니다. (예: `-lfftw3`)
기존 `CALL ZFFT1D(...)` 부분을 새로운 라이브러리의 호출 규격에 맞게 수정합니다. FFTW의 경우, plan을 생성하고 실행하는 2단계 접근이 필요합니다.

현대화 로드맵

다음은 제안된 최적화 전략을 적용하기 위한 단계별 로드맵입니다.

Phase 1: 라이브러리 교체

단기 (1-2주)

FFTE를 FFTW/MKL로 교체하여 즉각적인 성능 향상을 확보합니다. (ROI가 가장 높음)

예상 성능 향상: 2x ~ 5x

Phase 2: MPI 도입

중기 (1-3개월)

MPI를 추가하여 멀티-노드 환경으로 확장성을 확보하고 더 큰 규모의 문제에 대응합니다.

예상 성능 향상: 노드 수에 비례

Phase 3: GPU 포팅

장기 (6개월+)

최고의 성능을 위해 코드를 CUDA/OpenACC로 재작성하고 cuFFT, AmgX 등의 GPU 라이브러리를 활용합니다.

예상 성능 향상: 10x ~ 50x+

라플라스 변환 미분방정식 예제

섭교수 — Mon, 2 Dec 2024 11:51:13 +0900

#라플라스변환

#공업수학

라플라스변환으로 미분방정식 문제 세 개를 풀어봅시다.

예제 1 : 기본적인 상수계수 2계 미분방정식

예제 2 : 단위계단함수

예제 3 : 디랙 델타

(예제 1) 미분방정식의 해를 구하여라

라플라스 변환으로 미분방정식을 풀려면 도함수 공식을 알고 있어야 합니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222200501838

[공업수학] 6.2-1 라플라스 변환 : 도함수 공식

#공업수학 지난 시간에 이어 라플라스 변환의 근본을 이루는 도함수 공식을 알아봅시다 미분 공식(도함수 ...

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> 도함수 공식

(1) 주어진 미분방정식의 양변에 라플라스 변환을 취합니다.

도함수 공식을 적용하고

Y에 대해 정리합니다.

(2) 부분분수 분해

부분분수 분해란 분자의 차수가 분모보다 낮은, 가장 간단한 분수 형태로 쪼개어 표현하는 것을 말합니다.

어렵지 않습니다.

미지의 상수 a,b 를 이용해 표현하고 통분하면 끝입니다.

그런 후에 좌변과 우변의 계수를 비교해 a, b를 결정합니다.

(3) 라플라스 역변환을 거쳐 y(t)를 구합니다.

자세한 라플라스 변환표(또는 라플라스 테이블)는 아래 링크를 참조해주세요

https://blog.naver.com/subprofessor/222165745415

[공업수학] 6.1 라플라스 변환, 라플라스 변환표, s-이동정리 (s-shifting)

#공업수학 #라플라스변환 드디어 라플라스 변환입니다. 공업수학에서 배우는 미분방정식은 총 세 가지가 있...

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(예제 2) 미분방정식의 해를 구하여라

단위 계단 함수(unit step function, heaviside function)에 대한 자세한 내용은 아래 글 참조 바랍니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222234046188

[공업수학] 6.3 단위계단함수, t-shifting

#공업수학 #라플라스변환 구간에 따라 나뉜 함수. 예를 들면 x>0에서 x^2 이고 x<0에서 3x인 함수가 ...

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아래 공식만 기억하면 단위 계단 함수 문제를 풀 수 있습니다.

(1) 양변에 라플라스 변환을 취합니다

마찬가지로 Y에 대해 정리하는 것이 목표입니다.

단위 계단 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

a=2인 경우이므로 다음과 같이 정리됩니다.

앞선 예제와 동일하게 도함수 공식을 적용하고 정리합니다.

(2) t-이동정리를 사용해 역변환

변환표로부터 적절한 역변환을 수행합니다.

> t-이동정리

따라서 정리하면 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.

(예제 3) 미분방정식의 해를 구하여라

우변의 디랙 델타에 관한 자세한 내용은 아래 게시글 참조 바랍니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222247064105

[공업수학] 6.4 디랙 델타 함수

#공업수학 Dirac delta function. 6.4는 디랙 델타 함수에 대한 내용입니다. 먼저 디랙 델타 함수의 정의...

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디랙 델타의 라플라스 변환만 가지고 넘어갑시다.

(1) 양변에 라플라스 변환을 취합니다.

디랙 델타의 변환을 적용하고

도함수 공식을 적용합니다.

(2) t-이동정리를 사용해 역변환

[선형대수학] 행렬의 인수분해로 역행렬 구하기

섭교수 — Tue, 26 Nov 2024 15:14:58 +0900

#선형대수학

단위행렬 I 에 대해서는 행렬을 인수분해처럼 다뤄도 괜찮다.

어차피 행렬곱 과정에서 소거가 되기 때문인데요, 예제를 보겠습니다.

(예제 1) 행렬 M에 대하여 M^3를 구하여라. 이때 행렬 M의 세제곱을 직접적으로 계산해서는 안된다.

아래와 같이 행렬 M을 인수분해할 수 있습니다.

이렇게 인수분해할 수 있는 것은 단위행렬이기 때문입니다.

분해된 행렬을 계산하는 것은 비교적 간단합니다.

따라서 M의 세제곱은 아래와 같이 계산됩니다.

이보다 더 깔끔한 상황이 있습니다.

(예제 2) 주어진 행렬을 적절한 두 행렬의 합으로 표현하여 역행렬을 구하여라

Hint : 행렬의 거듭제곱

먼저 A를 I+B로 분해할 수 있습니다.

이때, I+B^3은 다음과 같이 분해됩니다.

대각성분이 없는 삼각행렬의 경우 한 번 거듭제곱할 때마다 요소가 한 줄씩(대각선 방향) 없어집니다.

따라서 위에서 세운 인수분해식은 A를 포함한 상당히 간단한 식이 됩니다.

앞서 계산한 B와 B의 제곱을 사용해 A의 역행렬을 구할 수 있습니다.

Stokes' First Problem

섭교수 — Fri, 25 Oct 2024 10:04:11 +0900

#유체역학

학부 수준에서는 다루지 않는 심화적인 점성유동 내용이지만 가볍게 읽을 수 있도록 최대한 기초부터 설명하였습니다.

Stokes' first problem은 압력구배가 없는 상황에서, 하단의 flat plat의 움직임에 의해 생기는 유동을 다룹니다.

목차
1. 문제 상황 설명
2. 지배 방정식, IC & BC
3. Solution of stokes' first problem

1. 문제 상황 설명

문제의 상황은 이렇습니다.

정지해있던 무한평판이 갑자기 움직이는 상황(transient; unsteady problem)

① 점성 유동

② 비압축성 유체(ρ = const.)

③ 압력이 일정(p = const. → ▽p = 0)

④ t ≤ 0 까지 평판이 정지해있음

⑤ t 〉0에서 하단의 평판이 속도 U로 움직임

중요한 가정이 두 가지 있는데, u = u(y) 즉 x방향 속도 성분이 오직 y만의 함수라는 것입니다.

사실 무한 평판의 같은 높이에서 모든 x가 같은 속도 성분을 가진다는 것은 자명하므로

거부감 없이 받아들일 수 있습니다.

또 한 가지 중요한 가정은 y방향 속도성분(v)가 0이라는 것입니다.

2. 지배방정식

직교좌표계에서 x방향 나비에 스토크스 방정식은 다음과 같습니다.

∂u/∂x = 0 이므로 좌변의 둘째, 우변의 둘째 항이 사라집니다.

v = 0 이므로 좌변의 셋째 항이 사라지고

압력구배가 0이므로 우변의 첫째 항이 사라집니다.

따라서 나비에 스톡스 방정식은 다음과 같이 정리됩니다.

양변을 밀도ρ로 나누면 더 간단히 정리됩니다.

다시 명확히 하자면,

u(y,t)는 x 방향의 유체 속도

ν = μ/ρ 는 동점성계수(kinematic viscosity)

y는 평판으로부터의 거리

t는 시간입니다.

또한 초기조건과 경계조건은 다음과 같습니다.

3. Solution of stokes' first problem

일반적으로는 풀 수 없기 때문에, similarity solution을 사용합니다.

similarity solution은 간단히 설명하자면, 속도 프로파일이 어떠한 방향으로 similar하다는 가정 하에 PDE를 ODE로 바꾸어 푸는 방법입니다.

출처 : https://mikaem.github.io/MEK4300/content/chapter3/similarity.html

시간에 따른 속도 프로파일이 유사하다고 생각하는거죠

(1) 유사변수(similarity variable) 설정

또한 아래와 같이 u = Uf(η)라 가정합니다.

우리의 목적은 저 미지의 함수 f를 구하는 것입니다.

앞서 구한 지배방정식에 넣으면, chain rule에 의해 다음과 같이 정리됩니다.

정리하면 최종적으로 아래와 같은 ODE를 얻습니다.

일련의 과정으로 f를 구할 수 있습니다.

u의 대한 초기조건과 경계조건은 다음과 같이 변환됩니다.

이를 적용하면 다음과 같이 f를 완전히 구할 수 있습니다.

여기서 error function이 등장합니다.

또한 여오차함수(complementary error function)은 다음과 같이 1에서 오차함수(error function)를 뺀 것으로 정의됩니다.

따라서 최종적인 해는 다음과 같습니다.

이 속도 분포는 시간에 따라 다음과 같은 분포를 가집니다.

출처 : https://mikaem.github.io/MEK4300/content/chapter3/sim

미분적분학 멱급수와 수렴반경 쉽게 이해하기 - Power Series, Radius of Convergence

섭교수 — Mon, 21 Oct 2024 09:36:10 +0900

이번 글에서는 멱급수와 멱급수의 수렴반경을 알아봅시다.

목차
1. 서론
2. 멱급수를 간단한 함수로 표현하기
3. 멱급수의 수렴

1. 서론

멱급수(power series)는 다음과 같이 다항함수들의 합으로 표현된 급수를 말합니다.

Cn은 x^n의 계수입니다.

멱급수는 x의 값에 따라 수렴할수도 있고, 발산할 수도 있습니다.

급수의 수렴/발산을 조사하는 여러 가지 test가 있습니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222100880217

[미분적분학] 교대급수 판정법

#미분적분학 오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정...

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https://blog.naver.com/subprofessor/222108497103

[미분적분학] 비판정법 (Ratio Test)

#미분적분학 많은 학생들이 급수의 수렴/발산에 대해 질문합니다. 그다지 어려운 문제들이 아닌데도 아예 ...

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이러한 test들을 사용하여 멱급수의 수렴/발산을 조사할 수 있습니다.

예를 들어 Cn =1인 경우, 이것을 첫째항이 1, 공비가 x인 등비급수로 본다면 -1<x<1에서 x가 수렴합니다.

아래와 같은 멱급수의 경우 ratio test로 수렴하는 x의 구간을 구할 수 있습니다.

오직 x = 0인 경우에서만 수렴하는 것을 확인할 수 있습니다.

2. 멱급수를 간단한 함수로 표현하기

여러가지 방법이 있지만, 간단히 기하급수 방법을 사용하여 하나의 간단한 함수로 표현할 수 있습니다.

> 기하급수의 계산과 수렴하는 r의 범위

a는 첫째항, r은 공비입니다.

(예제 1) 기하급수가 수렴한다면, 그 값을 계산하여라

공비가 1/3이므로 주어진 기하급수는 수렴하고, 그 값은 다음과 같습니다.

위 예제가 이해되었다면, 서론에서 설명한 케이스도 이해가 될겁니다.

x를 공비로 두면 급수의 첫째항이 1이 되는 거죠

(예제 2) 멱급수를 간단한 함수로 표현하여라라

앞선 예시와 마찬가지로 첫째항이 1, 공비가 -2x이기 때문에 아래와 같이 간단한 함수로 표현할 수 있습니다.

이 멱급수가 수렴하는 구간은 -1/2<x<1/2입니다.

(예제 3) 멱급수를 간단한 함수로 표현하여라

멱급수를 미분하여 간단한 함수로 표현할 수 있습니다.

주어진 멱급수를 f(x)라 합시다.

양변을 미분하면 우리가 잘 알고 있는 간단한 형태의 멱급수를 얻습니다.

양변을 적분하고

적분상수를 처리해서 주어진 멱급수를 간단한 함수로 표현할 수 있습니다.

3. 멱급수의 수렴

멱급수의 수렴은 세 가지 케이스가 있습니다.

I) 한 점에서 수렴 x=a

II) 수렴반경 |x-a|<R에서 수렴

III) 모든 실수에서 수렴 (-∞,∞)

마지막 케이스 III)에서, 수렴구간 양 끝에서의 수렴은 별도로 확인해야만 알 수 있습니다.

양쪽 끝에서 모두 수렴, 양쪽 끝에서 모두 발산, 한쪽 끝에서만 수렴하는 경우로 나눠집니다.

정리하면, x=a에서는 항상 수렴하고 그 외의 범위는 별도의 test를 통해 알아내야 합니다.

첫 번째 케이스 I)에서 수렴반경 R = 0이고 두 번째 케이스 II)에서 수렴반경 R = ∞입니다.

(예제 4) 급수의 수렴반경과 수렴하는 구간을 구하여라

Ratio test를 이용하여 수렴반경을 구할 수 있습니다.

(예제 5) 급수의 수렴반경과 수렴하는 구간을 구하여라

마찬가지로 비판정법(ratio test)을 사용합시다

이로써 주어진 멱급수가 모든 x에 대해 수렴한다는 것을 확인할 수 있습니다.

(예제 6) 급수의 수렴반경과 수렴하는 구간을 구하여라

마찬가지로 비판정법(ratio test)를 사용합니다.

여기서 R을 5이라고 하지 않도록 주의해야 합니다.

부등식에서 x의 계수를 1로 만들었을 때의 우변이 R이라는 것을 기억하세요

이제 양끝에서의 수렴/발산을 조사합시다.

x =-2일 때, "교대급수 판정법"에 의해 급수는 수렴합니다.

간단히 설명하자면, 급수의 수열이 (1)감소하고, (2)부호가 계속해서 바뀌면 그 급수는 수렴합니다.

자세한 내용은 아래 글 참조 바랍니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222100880217

[미분적분학] 교대급수 판정법

#미분적분학 오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정...

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p-test에 의해 (p=1/2 < 1) 해당 급수는 발산합니다.

https://blog.naver.com/cindyvelyn/222001850082

p급수 판정법(p-series test)

p급수(p-series)란 어떤 상수 p에 대하여 p의 역제곱으로 이루어진 급수입니다. p급수의 수렴 여부는 적분...

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따라서 x =-2에서 수렴, x =3에서 발산합니다.

최종적인 수렴반경과 급수의 수렴구간은 다음과 같습니다.

[재료역학] 보의 전단응력 예제(WF보)

섭교수 — Mon, 21 Oct 2024 09:34:45 +0900

#재료역학

#고체역학

보의 전단력이 작용하고 있을 때 단면의 y지점에서 발생하는 전단응력은 다음과 같습니다.

V는 단면에 작용하는 전단력

y는 중립축(도심)으로부터의 거리

Q(y)는 y지점에서 "바깥쪽 단면에 대한 단면 일차 모멘트"

I는 중립축 기준 단면 이차 모멘트(Iz 또는 Iyy). 모든 지점에서 동일한 값

t는 y지점에서의 가로폭. y지점마다 다를 수 있음.

응용하는 예제를 한 번만 따라가면 공식을 어떻게 적용하는지 바로 감을 잡을 수 있습니다.

예제를 통해 . . .

> 복잡한 형상의 단면 이차 모멘트

> 단면 일차 모멘트(Q)를 쉽게 구하는 방법

> 전단응력의 분포

등을 익히게 됩니다.

(예제) WF보에 V = 10kN의 전단력이 작용할 때, 점 A, B, C에서의 전단응력을 구하여라

C점은 도심이다.

출처 : https://bedfordreinforced.com/product/wide-flange-wf-beam/

> WF보(Wide-Flange Beam / Web-Flange Beam)

WF보는 중심부Web과 상,하단의 대칭적인 Flange로 구성되어있는 구조물입니다.

> A,B,C점에서 전단응력 구하기

문제에서 전단력V를 주었고, 폭t는 A,B,C점 모두에서 20mm(0.02m)입니다.

복잡한 형상의 단면 이차 모멘트

간단한 형상들의 단면 이차 모멘트는 다음과 같습니다.

출처 : https://owlcation.com/stem/How-to-Solve-for-the-Moment-of-Inertia-of-Irregular-or-Compound-Shapes

직사각형, 원같이 간단하지 않은 복합 단면에서의 단면 이차 모멘트는 크게 두 가지 테크닉으로 계산할 수 있습니다.

[1] 간단한 단면들로 나누어 계산 후 합치기

[2] 큰 단면에서 없는 부분을 빼기

WF보의 경우 Web의 I와 Flange의 I를 각각 구해 더해주거나, 큰 직사각형 단면에서 양옆 사이드를 제거했다고 보는 거죠

[1] 간단한 단면들로 나누어 계산 후 합치기

web)

flange)

web의 도심은 전체 단면의 도심과 동일하지만,

flange의 도심은 그렇지 않기 때문에 평행축 정리를 사용해야 합니다.

https://satlab.tistory.com/168

평행 축 정리 (Parallel Axis Theorem)

1. 평행 축 정리 (Parallel Axis Theorem) 평행축 정리는 단면 2차 모멘트를 평행 이동된 다른 좌표계에 대해서 구할 때 유용하다. H beam이나 I beam과 같이 복잡한 단면 형상의 경우 간단한 사각형으로 나

satlab.tistory.com

이렇게 구한 단면 이차 모멘트는 전체 큰 직사각형에서 양옆 사이드를 빼어 구한 것과 동일합니다.

[2] 큰 단면에서 없는 부분을 빼기

아래 그림처럼 큰 직사각형에 대하여, 양옆 사이드의 초록 부분을 뺍시다.

[1],[2] 어떤 방법을 사용하여도 같은 단면 이차 모멘트를 구할 수 있습니다.

첫 번째 방법은 직관적이라는 장점이 있지만 평행축정리를 사용해야 한다는 단점이,

두 번째 방법은 평행축정리를 사용하지 않아도 된다는 장점이 있습니다.

단면 일차 모멘트 Q

이제 마지막으로 남은 것은 "바깥쪽" 단면 일차 모멘트 Q를 계산하는 것입니다.

단면 일차 모멘트Q는 다음과 같이 정의됩니다.

두 번째 식에서 y_bar가 의미하는 것은 전체 단면의 도심으로부터 계산하고자하는 단면의 도심까지의 거리입니다.

바깥쪽이라고 하는 것은 도심으로부터 바깥쪽 면적을 말합니다.

A의 경우 아래와 같은 빗금친 부분이 바깥쪽 면적이 되겠죠

B의 경우 복합 단면이니, 각각의 단면 일차 모멘트를 분리해서 계산한 다음 합산합니다.

C도 마찬가지로 구해줍니다.

전단응력

점 A,B,C에서의 전단응력은 다음과 같습니다.

도심 근처로 갈수록 전단응력이 커짐을 볼 수 있습니다.

☆통상적으로 도심에서 전단응력이 최대입니다.

단면에서 y값에 따른 전단응력 분포는 이차곡선의 형태를 가집니다.

전단응력 그래프 라는 용어는 없지만 아래와 같이 표현할 수 있겠습니다.

출처 : https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/flange-shape

저희도 이와 같은 그래프를 표현해봅시다.

(i) 0.25<y<0.27

Q(y)를 계산해야 하는데, 바깥쪽 단면의 도심은 직사각형 요소의 바깥점(0.27)과 안쪽점(y)의 중점이므로, 둘을 더해 2로 나누어 계산할 수 있습니다.

(ii) 0<y<0.25 의 경우도 마찬가지로 표현할 수 있습니다.

이상의 결과를 나타내면 다음과 같습니다.

[유체역학] 개수로 유동(Open Channel Flow) 예제 : Specific Energy

섭교수 — Sat, 12 Oct 2024 11:05:21 +0900

#유체역학

관내유동(Pipe Flow)에서 유체 흐름의 구동력은 압력이었습니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/223069628395

[유체역학] 파이프 유동 예제 : 에너지 법칙, 수두손실

#유체역학 파이프 유동 문제는 관의 형상(지름, 길이), 관의 재질(거칠기, 마찰), 압력 차이가 주된 관심사...

blog.naver.com

위가 뚫려 있는 (Open Channel) 상황인 개수로 유동에서 유체 흐름의 구동력은 중력입니다.

에너지 관계식(베르누이 방정식)

속도 프로파일이 V1, V2로 각 단면에서 균일하다고 합시다.

1지점 상단(공기와 맞닿는 표면)과 2지점 상단에 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같습니다.

여기서 1지점과 2지점 모두 대기압으로 사라지고

수로의 경사(기울기)를 S0(bottom slope)라 하면 z1-z2= S0l 입니다.

수로 표면과 마찰로 인해 발생하는 수두 손실 hL(head Loss)은 관의 길이(l)에 비례하므로

Sf(friction slope)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

식을 정리하면 다음과 같습니다.

기울기와 마찰로 인한 손실을 무시하는 경우

기울기와 마찰로 인한 손실을 무시하는 경우, 다시말해 Sf = S0 = 0인 상황입니다.

앞서 정리한 에너지 관계식은 다음과 같이 간단하게 표현이 됩니다.

<단위폭당 유량(Flowrate per unit width)>

유량 Q를 폭 b(width)로 나눈 것을 단위폭당 유량 q라 합니다.

즉 q = Q/b입니다.

위와 같은 유도과정을 거쳐 표현한 것을 (Specific Energy)라 합니다.

여기서 E의 단위는 일반적인 에너지의 단위가 아니라 길이(m)입니다.

즉 우리는 "기울기와 마찰로 인한 손실을 무시하는 경우"에 E1 = E2라는 관계식을 쓰겠습니다.

고정된 E값에 대해 가능한 y값의 양상은 위와 같습니다.

같은 E값에 대하여 실수 y는 보통 두 개가 존재하게 되는데

큰 값을 subcritical depth(condition), 작은 값을 supercritical depth(condition)이라 합니다.

한국어로는 각각 상류 수심, 하류 수심입니다.

Example

실제로는 수문을 지나가는 부분에서 에너지 손실이 있지만, 여기서는 무시하고 계산하겠습니다.

(1) 하류 수심은 얼마인가?

상류에서의 Spicific Energy가 하류에서와 동일하다고 합시다.

중요한 것은 "유량과 수심을 알고 있으면 Specific Energy를 계산할 수 있다는 것"입니다.

E2를 알기 위해 식을 정리하고

E1 = E2 = 2.53m를 적용하면

삼차방정식을 얻게 됩니다.

하류 수심은 0.303 m 입니다.

(2) Froud 수의 정의는 다음과 같습니다.

하류에서의 유속(V)은 다음과 같습니다.

따라서 하류에서의 Froud 수는 다음과 같습니다.

Science 2020 Hidden fluid mechanics: Learning velocity and pressure fields from flow visualizations

섭교수 — Fri, 11 Oct 2024 10:59:40 +0900

원문 : https://www.science.org/doi/full/10.1126/science.aaw4741

1. 배경: 흐름 시각화와 유체 역학

액체와 기체가 어떻게 움직이는지에 대한 연구인 유체 역학은 수세기 동안 시각적 기법을 사용하여 분석되어 왔습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

흐름 패턴을 이해하기 위한 연기 및 염료 시각화.

실험실에서 흐름을 측정하기 위한 입자 이미지 속도 측정(PIV) 및 자기 공명 영상(MRI).

그러나 이러한 시각화에서 정확한 속도와 압력 정보를 추출하는 것은 여전히 복잡한 작업입니다. 유체 역학을 계산하는 기존의 방법은 보존 법칙에서 파생된 편미분 방정식인 Navier-Stokes(NS) 방정식을 풀어야 하지만, 이는 특히 인체의 혈류와 같은 복잡한 형상과 시나리오의 경우 계산 비용이 많이 듭니다.

2. 숨겨진 유체 역학(HFM): 물리학 기반 머신 러닝 접근 방식

HFM은 딥러닝을 사용해 유체 역학 문제를 보다 효율적으로 해결합니다. 이는 신경망 아키텍처 내에서 기본적인 나비에-스토크스 방정식을 인코딩하는 물리학 정보 기반 신경망입니다. 이 프레임워크를 통해 HFM은 시각 데이터(예: 유체 속 연기나 염료 이미지)만을 기반으로 속도와 압력장을 예측할 수 있습니다.

HFM의 가장 큰 장점은 경계 조건이나 초기 조건에 대한 사전 지식이 필요하지 않으므로 다양한 물리 시스템에 유연하게 적용할 수 있다는 것입니다. 이 접근 방식은 관찰된 데이터(예: 염료 농도)에서 숨겨진 양(예: 속도)을 추론하는 것이 목표인 역문제에 유용합니다.

3. HFM 프레임워크의 주요 구성 요소

입력 데이터: HFM은 공간과 시간에 흩어져 있는 희박한 데이터를 사용하며, 이는 흐름 시각화(예: 유체 내 연기 또는 염료 이동)에서 비롯될 수 있습니다.

신경망 구조: 네트워크는 두 부분으로 구성됩니다:

관측 가능한 흐름 변수(염료 농도)를 근사화하는 물리적으로 정보가 없는 네트워크.

나비에-스토크스 방정식을 모델에 인코딩하고 이러한 물리 법칙에 따라 학습 과정을 제한하는 물리 기반 네트워크.

이 구조는 네트워크가 노이즈가 많거나 제한된 데이터에 과도하게 적합하지 않고 유체 역학의 기본 원리에 기반을 두고 있음을 보장합니다.

4. 적용 시나리오

HFM은 몇 가지 물리적 및 생물의학적 예시를 통해 입증되었습니다. 저자들은 여러 시나리오에서 프레임워크의 잠재력을 보여줍니다:

외부 흐름: 이 논문에서는 유체 역학에서 잘 알려진 벤치마크인 원통을 통과하는 흐름이라는 고전적인 문제에 HFM을 적용합니다. 희박하고 노이즈가 많은 데이터를 사용했음에도 불구하고 HFM은 속도와 압력 필드를 성공적으로 재구성합니다.

내부 흐름: 주요 응용 분야는 혈관계의 혈류입니다. 혈류(속도와 압력)의 정량화는 동맥류와 같은 혈관 질환을 이해하는 데 매우 중요합니다. HFM은 환자별 두개내 동맥류에 적용되어 패시브 스칼라(의료 영상에 사용되는 조영제)의 농도 데이터를 기반으로 속도와 압력장을 정확하게 예측합니다. 이는 임상 환경에서 혈류를 직접 측정할 수 없는 경우가 많기 때문에 매우 중요합니다.

5. HFM의 장점

노이즈 및 저해상도 데이터에 강합니다: HFM의 뛰어난 기능 중 하나는 노이즈나 저해상도 데이터에서도 잘 작동한다는 점입니다. 이러한 견고성은 고품질 데이터를 사용할 수 없거나 비용이 많이 드는 애플리케이션(예: 의료 영상 또는 지구물리학적 측정)에 매우 중요합니다.

일반화 가능성: HFM은 경계 조건에 대한 명시적인 지식이 필요하지 않으며 복잡하고 임의의 기하학에 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 매우 불규칙한 영역(예: 혈관)의 혈류 분석이나 공기역학에서 차량 주변의 흐름 분석과 같은 실제 문제에 적용할 수 있습니다.

유연한 데이터 요구 사항: HFM은 2D 및 3D 시각화를 포함한 다양한 유형의 입력 데이터로 작업할 수 있으며, 흩어져 있는 포인트 클라우드 데이터에 대해 학습할 수 있습니다. 이러한 유연성 덕분에 구조화된 고밀도 데이터 세트를 사용할 수 없는 경우가 많은 실제 시나리오에 적합합니다.

6. 영향 및 잠재적 응용 분야

이 방법의 다용도성 덕분에 유체 역학을 넘어 다음과 같은 다른 영역으로 확장할 수 있습니다.

전자기학: 전기장에 대한 데이터와 맥스웰 방정식이 주어지면 동일한 원리를 사용하여 자기장을 추론할 수 있습니다.

생의학 응용 분야: 혈류를 정량화하는 HFM의 기능은 혈관 질환의 진단을 돕고, 심장마비나 뇌졸중의 위험을 예측하며, 혈관 질환의 예후에 중요한 혈류 전단 응력을 이해하는 등 임상적으로 중요한 영향을 미칠 수 있습니다.

7. 사례 연구 및 성과

원통을 통과하는 유체 흐름: HFM은 원통을 통과하는 2D 흐름의 데이터를 사용하여 속도와 압력 필드를 재구성하여 노이즈가 많고 희박한 데이터에 대한 프레임워크의 작업 능력을 입증했습니다.

두개내 동맥류: HFM은 경계 조건 없이도 환자별 동맥류의 흐름 역학을 예측하여 의료 진단에서의 유용성을 입증했습니다.

이 논문은 또한 HFM을 사용하여 농도 데이터에서 직접 레이놀즈 수(유체 역학에서 흐름 영역을 특징짓는 수치)와 같은 매개변수를 추정할 수 있음을 보여줍니다.

8. 도전 과제와 한계

HFM은 인상적인 기능을 가지고 있지만 한계도 있습니다:

정확한 농도 데이터에 대한 의존성: 이 알고리즘은 수동 스칼라(예: 염료 또는 조영제)가 흐름을 정확하게 나타낸다고 가정합니다. 이 가정이 실패하면 예측이 부정확할 수 있습니다.

데이터 가용성: HFM은 희소 데이터에 강력하지만 속도 및 압력 필드를 재구성하는 데 필요한 시공간 데이터의 양(예: 스냅샷 수)에 대한 최소 요구 사항이 여전히 존재합니다.

계산 복잡성: NS 방정식을 인코딩하기 위해 심층 신경망을 훈련하는 것은 특히 대규모 문제나 3D 데이터의 경우 계산적으로 까다로울 수 있습니다.

9. 결론

숨겨진 유체 역학 프레임워크는 유체 역학 문제를 해결하기 위해 머신러닝을 사용하는 데 있어 중요한 진전을 이루었습니다. 딥러닝을 나비에-스토크스 방정식과 통합함으로써 희소하고 잡음이 많은 데이터에서 유체 흐름에 대한 정량적 정보를 추출할 수 있는 강력한 도구를 제공합니다. 공기 역학부터 생물의학 진단 및 엔지니어링 시스템에 이르기까지 다양한 분야에 적용되어 실제 유체 역학 문제에 대한 다목적 솔루션으로 활용되고 있습니다.

한컴 PDF 순서 바꾸기, 페이지 순서 바꾸기

섭교수 — Wed, 9 Oct 2024 10:56:15 +0900

한PDF 순서 바꾸기, 한PDF 페이지 순서 바꾸기

한컴 PDF에는 PDF 병합, 쪽 추출의 기능이 있지만 순서바꾸기 기능이 내장되어 있지 않다.

하지만 쪽 추출 기능을 응용하여 PDF의 페이지 순서를 바꿀 수 있다.

한 PDF 화면에서(또는 한컴 pdf)

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[유체역학] 나비에-스톡스 방정식의 무차원화

섭교수 — Tue, 8 Oct 2024 09:55:32 +0900

#유체역학

#무차원화

목차
1. 차원과 단위(Dimensions and Units)
2. 방정식의 무차원화(Nondimensionalization of Equations)
3. 예제1 : 운동방정식 - 중력가속도
4. 무차원화의 장점
5. 예제2 : 나비에-스톡스 방정식(Navier-stokes equation)
6. 특수한 경우들

1. 차원과 단위

무차원화(Nondimensionalization)을 이해하기 위해서는 먼저 차원의 정의를 알아야 합니다.

정의 : Dimension is a measure of physical quantity while a unit is a way to assign a number to that dimension.

예를 들어 "길이"는 차원이고, 미터(m)나 인치(inch)는 단위가 됩니다.

Length : Dimension(L)이고 이에 대응되는 unit은 m, km, cm, inch, ft . . .

주요한 7가지 차원(Primary dimensions)으로 존재하는 모든 물리량을 표현할 수 있습니다.

예를 들어 밀도의 경우 아래와 같이 M,L로 표현할 수 있습니다.

2. 방정식의 무차원화

방정식의 각 항의 차원이 없을 때(dimensionless) 무차원 방정식(nondimensional equations)이라 합니다.

(1) 무차원 변수

무차원 변수의 정의는 다음과 같습니다.

Quantites that change or vary in the problem, but have no dimensions.

예를 들어 우리가 푸는 수학 문제들은 대부분 무차원 방정식입니다.

(2) 방정식의 무차원화

다음 세 가지 순서로 진행됩니다.

1. 적절한 Scaling parameters를 선정

2. 무차원 변수를 정의

3. 기존의 방정식을 무차원화

3. 예제 1 : 운동방정식 - 중력가속도

다음과 같은 운동방정식을 생각해봅시다.

초기위치와 초기속도가 각각 z0, w0으로 주어진 z방향 운동방정식입니다.

현재 중력만이 외력으로 작용하고 있어, F=ma에서 질량 m을 소거한 형태로 주어졌습니다.

이 방정식의 해는 아래와 같습니다.

그렇다면 위 운동방정식의 차원은 무엇일까요?

어떤 방정식의 차원을 쉽게 파악하는 방법은 양변의 차원이 같다는 것입니다.

우변이 중력가속도인데, 가속도의 차원은 m/s^2이므로 주어진 방정식의 차원은 다음과 같습니다.

1. 적절한 Scaling parameters를 선정

scaling parameter는 방정식을 무차원화하기 위해 방정식의 양변에 곱해거나 나눠줄 parameter를 말합니다.

여기서는 초기값으로 주어진 z0와 w0를 사용합시다.

2. 무차원 변수를 정의

방정식을 구성하고 있는 변수인 z와 t가 무차원 변수가 되도록 각 차원에 맞추어 나눠줍니다.

이때, 무차원 변수를 정의하는 것은 문제를 푸는 사람의 자유입니다.

그렇지만, 통상적으로 어떤 상황에서 어떻게 무차원변수를 정의하는지 정해져 있으며

공부를 조금만 하면 감을 익힐 수 있습니다.

z는 z0로 나누어 주었는데 t는 t0로 나누지 않은 이유?

> t0라는 것이 따로 정의된 것도 아니고 크게 어떤 의미를 갖지 못하기 때문에 거리를 속도로 나눈 z0/w0로 t를 나눠줍다.

3. 기존의 방정식을 무차원화

앞서 정의한 무차원 변수들을 주어진 방정식에 대입합니다.

이를 정리하면 아래와 같이 양변이 무차원인, 무차원 방정식을 얻을 수 있습니다.

프루드 수(Fround number)를 다음과 같이 정의하면

간단하게 무차원 방정식을 표현할 수 있습니다.

무차원 방정식의 해를 구하면 다음과 같습니다.

C1, C2를 구하기 위해 초기조건을 사용해야 하는데, 주어진 초기조건으로 무차원화된 초기조건을 사용합시다.

따라서 다음과 같은 해를 얻습니다.

4. 무차원화의 장점

앞선 예제에서는 큰 장점이랄 것이 보이지 않은 것 같습니다.

어차피 같은 결과 아니야? 라고 생각할 수 있지만, 먼저 무차원화가 필요한 이유를 설명하겠습니다.

(1) 앞선 예시는 매우 간단하고 해석적인(analytical solution, exact solution) 해를 구할 수 있는 경우입니다.

(2) 그러나 더 복잡한 상황과 문제가 일반적입니다.(편미분 방정식이나 연립된 미분방정식) 이런 문제들은 손으로 완벽한 해를 구할 수 없기 때문에 공학자들은 수치적으로(numerically)나 실험적으로(experimentally) 문제를 풉니다.

(3) 하지만 비용과 시간이 많이 들기 때문에 방정식을 무차원화하는 것이 매우 유용하고 많은 시간과 비용을 줄여줄 수 있습니다.

어떤 항이 지배적인지, 어떤 항을 무시할 수 있는지 그러한 직관을 제시해준다고 할 수 있겠습니다.

영어 원문 : Relationships between key parameters in the problem are identified. The number of parameters in a nondimensionalized equation is less than the number of parameters in the original equation.

5. 예제2 : 나비에-스톡스 방정식(Navier-stokes equation)

이번 글의 본론이자 하이라이트입니다.

<비압축성 유체>에 대한 나비에-스톡스 방정식입니다.

> 무차원 변수를 설정합니다.

(1) 길이(Length)

위 정의에 의해 nabla는 아래와 같이 무차원화됩니다.(nabla는 [1/L]의 차원를 가지고 있음)

(2) 속도(Flow velocity)

벡터 u를 flow velocity라 하고, U를 특성속도(characteristic velocity)라 합시다. 특성길이나 특성속도같은 것들은 문제에 따라서 사용자가 정의하기 나름입니다.

(3) 시간(Time)

앞선 예제1에서와 같이 L/U로 나누어줍니다.

(4) 압력(Pressure)

압력에 대해서는 단일화된 무차원화방식이 없습니다. 여기서는 두 가지 형태로 무차원화하겠습니다.

① 점성 효과가 지배적일 때(viscous effects are dominant)

② 관성 효과가 지배적일 때(inertia effects are dominant)

단순하게, 레이놀즈 수(Reynolds number; Re)가 작으면 점성 효과가 지배적, 크면 관성 효과가 지배적이라고 생각합시다.

> 앞서 정의한 관계식을 대입해 방정식을 무차원화합니다.

먼저, 좌변입니다.

우변의 압력항은 먼저 관성효과가 지배적인 것으로 가정합시다.

여기서 레이놀즈 수를 다음과 같이 정의하면

무차원화된 나비에 스톡스 방정식(Nondimensionalized NS equation)을 얻을 수 있습니다.

+) 만약 점성효과가 지배적인 상황이라면

여기서 동점성계수의 정의를 사용합니다.

따라서 무차원화된 나비에-스톡스 방정식은 다음과 같습니다.

6. 특수한 경우들

앞서 무차원화의 장점에서, 변수간의 관계나 지배적인 효과를 다루기 용이하다고 했습니다.

(1) Stokes regime

Re -> 0 인 경우로 유속이 매우 작아 점성효과가 지배적인 영역입니다.

무차원화된 나비에-스톡스 방정식은 아래와 같이 항이 정리됩니다.

Creeping motion

Stokes equation(diffusion equation)

(2) Euler regime

Re -> ∞ 인 경우로 유속이 매우 크거나 점성항이 매우 작아 관성효과가 지배적인 영역입니다.

점성항을 무시할 수 있으며 아래와 같이 식이 정리됩니다.

레이놀즈 수와 무관한 flow라는 것을 알 수 있습니다.

운동방정식을 무차원화시켜놓고 보니, 무차원변수가 거동에 지배적인 영향을 주고 있다는 것을 볼 수 있습니다. 이 과정을 통해 서로 다른 유체나 다른 길이 스케일에서도 무차원화시킨 데이터들이 같은 경향성을 보인다는 것을 받아들이고 이해할 수 있습니다.

[유체역학] 블라시우스 해법(Blasius Solution) 유도

섭교수 — Thu, 13 Jun 2024 08:52:17 +0900

블라시우스 해법은 평판 위를 흐르는 정상, 비압축성 층류 경계층 방정식의 고전적 해법입니다. 이를 유도하기 위해 몇 가지 단순화와 변환 과정을 거칩니다. 자세한 유도 과정을 아래에 설명합니다.

지배방정식(Governing Equation)

2차원 정상, 비압축성 흐름을 위한 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같습니다:

경계층 가정(Boundary Layer Assumptions)

평판 위 경계층 흐름의 경우:

이러한 가정에 따라 경계층 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다 :

유사 변환(Similarity Transformation)

위 방정식을 풀기 위해 유사 변환을 사용합니다. 유사 변수 η(eta) 와 유동함수(stream function) ψ(psi) 를 도입합니다 :

여기서 U는 자유흐름 속도입니다

유동함수(stream function) ψ는 다음과 같이 속도 성분 u와 v와 관련됩니다:

유동함수(stream function)를 이 관계식에 대입하면:

운동량 방정식에 대입

유사 변수와 유동함수(stream function)를 단순화된 운동량 방정식에 대입하면:

u와 v를 대입하면:

정리하면, η가 소거되고 블라시우스 방정식이 유도됩니다:

경계 조건(Boundary Conditions)

문제의 경계 조건은 다음과 같습니다:

해법과 결론(Solution and Conclusion)

블라시우스 방정식은 3차 비선형 상미분 방정식으로, 일반적으로 수치적으로 풀립니다. RK 4th method를 사용해 풀 수 있고, 그 해는 이미 구해져 있습니다.

블라시우스 해법은 평판 위 층류 경계층 흐름에 대한 속도 분포를 제공하며, 경계층이 선단에서부터 거리의 제곱근에 따라 어떻게 성장하고, 속도가 벽에서 자유흐름 속도로 어떻게 전이하는지를 설명합니다.

[재료역학] 모어 원 그리는 법(Morh's Circle)

섭교수 — Wed, 12 Jun 2024 10:46:13 +0900

#고체역학

#재료역학

모어 원

모어 원은 원하는 임의의 경사면 요소에 대하여 응력 상태를 쉽게 알 수 있게 해주는 유용한 도구입니다.

"평면응력 상황에서" 주로 사용되며

모어 원을 그리게 되면 재료에 작용하는 최대,최소 수직응력 그리고 최대전단응력을 한 눈에 살펴볼 수 있다는 큰 장점이 있습니다.

수업을 하다보면 많은 학생분들이 어려워하는 부분인데

사실 한,두 번 정확히 그리다보면 쉽게 익숙해질 수 있는 파트입니다.

모어 원 그리는 법

모어 원 그리는 방법은 간단합니다.

1. 삼각형을 그린다. 이때, 빗변이 원의 반지름(R)이 되고 각도는 2θp이다.

2. 원의 중심(Center)를 구한다.

3. 모어 원을 그리고, 시작점을 표시한다.

아래와 같은 응력 상황을 보겠습니다.

1. 삼각형을 그린다.

이 삼각형의 가로와 세로는 응력들을 이용해 정의되어 있으며

삼각형을 그리는 목적은 빗변이자 모어 원의 반지름이 되는 R을 구하기 위함입니다.

여기서 삼각형의 왼쪽 각은 주각(θp)의 두 배입니다.

반지름 R = 70이고, 주각(Principal Angles)은 216.9/2 = 108.4가 됩니다.

2. 원의 중심을 구한다.

위 식을 이용하면 C = 84 입니다.

3. C와 R을 가지고 모어 원을 그립니다.

이때 중심은 항상 가로축 위에 있습니다.

아래 그림은 일반적인 상황의 모어 원을 그린 겁니다.

★ 주각은 "현재 상태에서 최대 수직응력을 갖기 위해서 회전해야 하는 각도"를 의미합니다.

1, 2의 결과를 가지고 모어 원을 그리면 다음과 같습니다.

주각을 가지고 시작점 A를 표시하기 어렵다면, 단순히 초기상태에서 응력을 좌표처럼 생각해서 A점을 구할 수 있습니다.

<모어원에서의 규칙>

1. 각도 단위는 2θ, 반시계 방향으로 회전

2. 전단응력 축은 아래를 향하도록

3. 중심은 항상 수평축 위에

이게 끝입니다.

핵심은 반지름, 중심, 시작점입니다.

문제에서 주로 요구하는 것

1. 주응력(최대,최소 수직응력)과 최대전단응력(R)

2. 주각(Principal Angles) 또는 주축(Pricipal Axis)을 구하여라

3. 각도 θ 만큼 회전한 응력 요소 그리기

4. 주응력 상황에서 응력 요소 그리기

주응력은 모어원을 그리게 되면 수평축과 만나는 지점을 쉽게 찾을 수 있는데(C+R, C-R)

그 두 값을 주응력이라 합니다.

앞서 예시로 든 상황에서 주응력은 다음과 같습니다.

최대 전단응력은 모어원 그림에서도 알 수 있듯이 원의 반지름과 같습니다.

주각은 삼각형의 각도/2입니다.

가령, 반시계 방향으로 30도 회전한 요소의 응력을 구한다 합시다.

모어원에서는 각도 단위가 2θ가 되기 때문에 이를 꼭 주의해주시구요

B점을 회전한 상태라 한다면, 위와 같은 그림에서 응력을 구하는 것은 너무나 쉽습니다.

또 주의해야 할 것은 수직응력이 2개이기 때문에, 거기서 90도 회전한(모어원 상에서는 180도) B'점의 응력을 구해서 표시해줘야 합니다.

전단응력 축이 아래 방향이라는 것도 주의해주세요

주응력 상황에서는 전단응력이 없습니다.

주각만큼 회전한 면(축)에 최대 수직응력을, 수직인 면에 최소 수직응력을 쓰면 됩니다.

특이값 분해(Singular Value Decomposition; SVD) 예제

섭교수 — Thu, 23 May 2024 13:20:45 +0900

#선형대수학

https://subprofessor.tistory.com/198

[선형대수학] 고윳값, 고유벡터부터 대각화, 스펙트럼 분해까지

#선형대수학 #공업수학 Contents - Eigenvalue(고윳값 또는 고유치) & Eigenvector - Diagonalization - Spectral Decomposition 1. Eigenvalue & Eigenvector 고윳값(또는 고유치)과 고유벡터는 정방행렬 A(squa

subprofessor.tistory.com

행렬을 다른 행렬들로 분해(Decomposition)하는 방법은 다양합니다.

LU분해

QR분해

대각화

등등..

특이값 분해(SVD)는 대각화가 nxn 정방행렬만 가능한 것과 달리, 일반적인 mxn 행렬에 대해서 수행할 수 있습니다.

Singular Value Decomposition (SVD)는 행렬을 특이값과 특이벡터를 이용하여 분해하는 방법으로, 선형대수학 및 데이터 분석에서 중요한 도구입니다. SVD는 임의의 m×n 행렬 를 다음과 같이 세 개의 행렬의 곱으로 분해합니다:

여기서 U, Σ, V 는 다음과 같습니다.

시그마는 그리스 문자로, 소문자가 σ , 대문자가 Σ입니다.

여기서 특이값(Singular Value)란 소문자σ 를 의미합니다.

특이값은

의 고유값에 루트를 씌운 것이며,

의 고유값에 루트를 씌운 것과도 같습니다.

즉

의 고윳값을 λ1, λ2, .. 라 할 때 다음 관계가 성립합니다.

> 특이값σ은 0보다 큰 값이며, 아래 조건을 따라 가 Σ가 구성됩니다.

V는

의 고유벡터(Eigenvector)로 만든 직교행렬

U는

의 고유벡터로 만든 직교행렬 입니다.

Applications of SVD

1. 차원 축소(Dimensionality Reduction):

SVD는 데이터의 중요한 구조를 유지하면서 차원을 줄이는 데 사용됩니다. 예를 들어, Σ의 상위 개의 특이값과 대응하는 와 의 열 벡터만을 사용하여 근사 행렬 를 만들 수 있습니다.
이는 Latent Semantic Analysis(LSA)와 같은 정보 검색 및 자연어 처리 분야에서 많이 사용됩니다.

2. 노이즈 제거(Denoising):

SVD는 이미지와 같은 데이터에서 노이즈를 제거하는 데 사용됩니다. 큰 특이값에 해당하는 구성 요소는 중요한 정보로 간주되고, 작은 특이값에 해당하는 구성 요소는 노이즈로 간주되어 제거될 수 있습니다.

3. 행렬 연산(Matrix Operations):

SVD는 행렬의 역행렬이나 유사역행렬(pseudo-inverse)을 계산하는 데 유용합니다. 특히, 역행렬이 존재하지 않는 비정규 행렬의 경우에도 유사역행렬을 구할 수 있습니다.

4. 조건수 계산(Condition Number Calculation):

SVD를 사용하여 행렬의 조건수를 계산할 수 있습니다. 조건수는 행렬의 특이값 중 최대값과 최소값의 비율로 정의됩니다. 이는 행렬의 안정성과 수치적 문제의 민감도를 나타냅니다.

How?

실질적으로 SVD를 수행하는 순서는 다음과 같습니다.

SVD의 계산 예

예를 들어, A가 다음과 같은 3×2 행렬이라고 하겠습니다:

> V를 먼저 구하고 U를 구하는 순서로 진행되는데 실질적으로 U를 구할 때, 만약 특이값이 0이 나오지 않았다면 AAt의 고유값을 직접 구하기보다 아래 공식을 사용해서 빠르게 구합니다.

V의 열벡터들을 vi, U의 열벡터들을 ui, 대응되는 특이값을 σi 라 할 때, 다음이 성립합니다.

위 문제의 경우 두 번째 특이값이 0이기 때문에 u1만을 위 공식으로 빠르게 구할 수 있습니다.

> 만약 특이값 행렬 Σ의 역행렬이 존재한다면 다음 공식을 사용할 수도 있습니다.

Example

행렬 A에 대하여 특이값분해를 수행하여라

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✅ 출제단원

- 연립방정식

- LU분해

- 그람-슈미트 과정

- QR분해

- 고유값과 고유벡터

- 역행렬

- 특잇값 분해(SVD)

본 모의고사는 시험 대비 및 복습용으로 제작되었습니다.

전자책 특성 상 환불이 불가합니다.

✉️ 질문 및 기타 문의는 hyonklee@gmail.com

시험지 샘플입니다.

해설 샘플입니다.

[선형대수학] 선형방정식, 연립방정식 예제

섭교수 — Tue, 23 Apr 2024 21:26:02 +0900

#선형대수학

선형방정식에 대해 두 글에 걸쳐서 알아봤는데 이번에는 직접 선형방정식을 풀어보는 시간을 가져봅시다. 예제와 함께 풀이가 나와있긴 하지만 직접 풀고 풀이를 확인하는 것을 추천합니다

(예제 1) 첨가행렬로 표현된 아래 선형방정식계의 해를 구해라

먼저 첨가행렬을 Echelon form으로 바꾸어야 합니다

두 번째 행 중 가장 왼쪽에 위치한 항이 0이 되도록(정확히는 첫 번째 행에 위치한 leading entry 아래가 0이 되도록) 첫 번째 행에 -3을 곱한 것과 두 번째 행을 더하는 ERO(기초 행 연산, Elementary Row Operation)을 수행합시다

Replacement

해를 구하기 위해서는 행렬을 Echelon form 다음 Reduced echelon form으로 만들어야 합니다

Reduced echelon form의 조건 두 가지는 다음과 같습니다

일단 두 번째 행의 leading entry를 1로 만들어주겠습니다

위에서 수행한 ERO는 Scaling입니다

이번에는 두 번째 행의 leading entry 위가 0이 되도록 Replacement를 시행해주겠습니다

REF.

어느정도 풀이가 마무리되어가는 단계입니다

첨가행렬이 네 개의 열(세로줄)을 가지기 때문에 해당 첨가행렬에 대응하는 선형방정식계는 3개의 변수(x1, x2, x3)로 이루어진 방정식입니다(열개수 4에서 상수항 1을 빼 4-1으로 계산)

variable

위 변수들이 각각 Basic variable인지 아니면 다른 변수들을 표현해주는 Free variable인지 따져야 합니다

이것은 각 열마다 Leading entry가 존재하느냐로 따질 수 있으며 있는 경우 Basic variable, 없다면 Free variable 입니다

보통 해를 표현할 때 일반해와 특수해를 언급하는데 일반해(General solution)의 경우 구할 수 있는 모든 해를 포함하는 것으로 이해하면 됩니다

REF로 만들어준 첨가행렬에서 다음과 같은 연립방정식을 얻습니다

Basic variable에 대하여 정리하면 일반해를 구할 수 있습니다

위 해는 x2를 굳이 표현하지 않았습니다(무수히 많은 x2가 가능)

포함하여 표현하면 다음과 같습니다

x1, x2, x3를 하나의 열벡터로 모아 표현하면 다음과 같습니다

(예제 2) 첨가행렬로 표현된 아래 선형방정식계의 해를 구해라

이번 예제의 첨가행렬은 조금 커서 얼핏 겁먹을 수도 있겠습니다만 이미 Echelon form으로 제시되어 있는 데다가 각 행의 Leading entry가 모두 1입니다

두 번째 행의 Leading entry의 위가 -3(0이 아님)이므로 Reduced echelon form은 아니네요 세 번째 행의 Leading entry에서도 REF가 아님을 알 수 있구요

제시된 첨가행렬에 아래와 같은 ERO(Replacement)를 수행하여 두 번째 행 Leading entry 위를 0으로 만들겠습니다

이번에는 세 번째 행 Leading entry 위를 0으로 만들겠습니다

열의 개수가 6개이니까 주어진 선형방정식계(Linear system)의 변수의 개수는 5개입니다

변수들이 Basic 이나 Free 냐는 각 변수와 대응되는 열에 leading entry의 유무로 판단할 수 있습니다

주어진 첨가행렬에서 출발한 REF를 다시 연립방정식 형태로 바꿉니다

이를 Basic variable에 대해 정리하면 일반해(General solution)를 얻습니다

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[기계진동] 1차원 강제진동 - 감쇄모델

섭교수 — Fri, 29 Mar 2024 09:14:28 +0900

기계진동학

▶ 이 책은 기계진동학을 다룬 이론서입니다.

저자: Singiresu S Rao

출판: Pearson Education

출판일: 2019.02.28

#기계진동

외력이 존재하는 진동을 강제진동(Forced Vibration)이라 합니다.

강제진동에 관한 소개는 이전 게시글 참조 바랍니다

https://blog.naver.com/subprofessor/223391276188

[기계진동] 1차원 강제진동 - 비감쇄모델

#기계진동 외력이 존재하는 진동을 강제진동(Forced Vibration)이라 합니다. 비감쇄모델(Undamped Syst...

blog.naver.com

이번 글에서는 damping 항(cx')이 추가된 감쇄모델을 살펴보겠습니다.

목차

1. 감쇄모델의 주요 변수

2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해

3. 전체 해(Total Response)

4. 결론 및 예제

1. 감쇄모델의 주요 변수

이번에도 harmonic excitation 상황을 보겠습니다(외력이 삼각함수)

운동방정식은 다음과 같습니다.

댐퍼가 없는 스프링-질량 시스템에서 새로 도입된 변수는 frequency ratio와 static deflection이었습니다.

댐퍼가 있는 스프링-댐퍼-질량 시스템에서는 damping ratio를 추가로 사용합니다.

자유진동에서 사용했었죠

https://blog.naver.com/subprofessor/223390165740

[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델

#기계진동 자유진동(Free Vibration)이라 함은 외력이 작용하지 않는 상황입니다. 즉 우변이 0인 제차방...

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2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해

제차해(xh)는 시간이 지나면 자연스럽게 0으로 수렴하게 되기 때문에(자유진동-감쇄모델 게시글 참조) 우리의 주 관심사는 특수해가 됩니다.

xp를 아래와 같이 가정하고 대입합니다.

좌변과 우변을 비교합니다.

구해야 하는 미지수는 진폭 X와 위상 Φ 입니다.

(2) 로부터 위상 Φ 에 관한 정보를 얻을 수 있습니다.

식 1과 2를 연립해 진폭 X를 결정할 수 있습니다. 여기서 위 삼각형으로부터 얻은 sin 값을 사용해줍니다.

이것을 계산하여 처음 설정한 xp에 대입하면 해를 얻을 수 있는데

앞서 소개한 frequency ratio, damping ratio, static deflection을 사용해 표현하면 다음과 같습니다.

마찬가지로 분자, 분모를 k를 나눠서 정리한 것이고 과정은 다음과 같습니다.

즉 다음과 같이 바뀐 것입니다.

이것이 의미하는 바는 외력 F에 의해 삼각함수 형태의 steady state response를 얻게 되고

이 steady state response의 주요 특성인 진폭과 위상은 frequency ratio와 damping ratio의 영향을 받게 된다.

1) 같은 r값이라면 ξ가 클수록 진폭이 작아집니다(damping 이 효과가 커질수록 진폭이 감소)

2) 진폭 X가 최대가 되는 조건은 다음과 같습니다. (dX/dr = 0로부터 계산)

또는

물론 r>0인 범위에서만 유효합니다.

3) r값에 따라 위상이 달라집니다.

transient response는 초기조건으로 인한 초기의 안정되지 않은 거동을 의미하고

steady state response는 초기조건으로 인한 transient 효과가 미미한 시점부터의 규칙적인 거동을 의미합니다.

3. 전체 해(total response)

제차해(xh)는 자유진동에서의 해를 그대로 가져오면됩니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/223390165740

[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델

#기계진동 자유진동(Free Vibration)이라 함은 외력이 작용하지 않는 상황입니다. 즉 우변이 0인 제차방...

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제차해와 특수해의 위상과 진폭이 중복되기 때문에 제차해에다가 하첨자0을 붙이겠습니다.

4. 결론 및 예제

1) 감쇄항 cx'의 효과는 damping ratio(ξ)로 표현

2) 특수해와 전체해

X0와 Φ0는 초기조건을 넣어서 정해주면 됩니다.

(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system에 외력 F(t) = 200 cos 10t N이 작용하고 있다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s

X(t)는 다음과 같습니다.

(1) 운동방정식으로부터 r, ξ 구해서 Xp 계산하기

이것을 공식에 대입합니다.

NOTE : 위상 Φ

(2) 전체해 구하기(total response)

위 공식에서 우리가 모르는 것은 wd, X0, Φ0 입니다.

wd는 쉽게 구할 수 있고

X0, Φ0 은 초기조건을 사용해 직접 구해주어야 합니다.

x'(0)을 사용하기 위해 전체 해를 미분합니다.

t = 0을 대입합니다.

(1)로부터

(2)로부터

이것의 양변을 각각 제곱해 더하면 X0를 구할 수 있습니다.

(2) phi를 구합니다.

(2)식에서 (1)식을 나누면 됩니다.

(3) total response는 다음과 같습니다.

[기계진동] 1차원 강제진동 - 비감쇄모델

섭교수 — Thu, 28 Mar 2024 09:37:50 +0900

#기계진동

기계진동학

▶ 이 책은 기계진동학을 다룬 이론서입니다.

저자: Singiresu S Rao

출판: Pearson Education

출판일: 2019.02.28

외력이 존재하는 진동을 강제진동(Forced Vibration)이라 합니다.

비감쇄모델(Undamped System)을 먼저 배우고 다음 글에서 감쇄모델(Damped System)을 살펴보도록 하겠습니다.

목차

1. 강제진동에 대해

2. 1차원 강제진동 : 스프링-질량 시스템의 해

3. 간소화된 공식

4. r값에 따른 해석(resonance)

5. 결론 및 예제

1. 강제진동에 대해

질량체에 가해지는 외력에는 여러가지 종류가 있습니다.

일정한 힘(상수함수), 사인파(삼각함수), 일반적인 외력(general forces) . . .

여기서는 일단 삼각함수 외력(그 중에서도 cos) 만 다루겠습니다.

사실상 어떤 함수들 푸리에 급수를 이용하면 삼각함수의 합으로 표현할 수 있기 때문에

기본적으로 단일 삼각함수에 대한 해석을 할 수 있어야 합니다.

여기서 중요한 것은 "고유 진동수(natural frequency) wn과 외력이 가지는 진동수w 가 다를 수 있다는 것" 입니다.

운동방정식은 다음과 같습니다.

위 그림에서 FBD와 운동방정식의 유도는 아래 글 참조 바랍니다

https://blog.naver.com/subprofessor?Redirect=Log&logNo=222906562044&from=postView

[동역학] 전달함수(Transfer Function) 정의, 연립 운동방정식 예제

#동역학 #시스템해석 라플라스 변환은 아래 게시글 참조 https://blog.naver.com/subprofessor/22216574541...

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2. 1차원 자유진동 : 스프링-질량 시스템의 해

2계 비제차 방정식은 제차해 (xh)를 먼저 구하고 특수해(xp)를 구하는 순서로 풉니다.

https://blog.naver.com/subprofessor?Redirect=Log&logNo=222144868605&from=postView

[공업수학] 3.2 고계(고차)미분방정식 : 비제차 방정식

#공업수학 이제 정말 마지막 장입니다. 비제차 방정식의 해를 구하는 미정계수법과 매개변수법을 보는 건 ...

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1) 제차해

해를 가정하고

대입합니다.(제차해는 우변 = 0이라 두고 얻은 해입니다)

따라서 제차해는 다음과 같습니다.

2) 특수해

특수해 xp는 우변의 비제차항을 보고 xp를 가정하는 것입니다.

진동수 w는 따라가되 진폭 X는 미지수로 설정하고 미분방정식에 대입합니다.

따라서 특수해는 다음과 같습니다.

3) 최종해의 표현

A와 B는 초기조건으로부터 구할 수 있습니다.

3. 간소화된 공식

보통 위와 같이 표현하지는 않고 frequency ratio(r)와 static deflection(δ)를 사용해 표현합니다.

하첨자 st는 static deflection의 약자입니다.

이것을 이용해 다음과 같이 특수해를 간단히 표현할 수 있습니다.

우변의 분자, 분모를 k로 나누면

분모의 m/k가 다음과 같이 정리되고

frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 간단히 정리하면 다음과 같습니다.

이렇게 표현했을 때의 장점은 여러 가지가 있지만

- "진동수 비"로 해의 양상을 쉽게 관찰할 수 있다

- 차원(단위)이 단순해진다

등이 있겠습니다.

전체 해(total response)는 다음과 같습니다.

이것을 초깃값으로 표현해봅시다.

초깃값 x(0)를 간단히 x0라 표현하고 A로 정리합니다.

마찬가지로 B를 구합니다.

따라서 total response는 다음과 같습니다.

frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 나타내면 다음과 같습니다.

4. r값에 따른 해석(resonance)

위 식에서 분모가 0이 되는 r = 1을 기준으로 응답의 양상이 다르게 됩니다.

(i) 0<r<1 인 경우 F(t)와 위상이 동일하며 진폭이 다릅니다.

여기서 위상이 동일하다는 뜻은 F(t)가 위아래로 움직이는 움직임과 질량체 m의 움직임이 동일하다는 뜻입니다.

외력이 위로 작용하면 질량체 m도 위로 움직이고, 아래로 작용하면 질량체 m도 아래로 움직입니다.(최소 특수해 관점에서는)

(ii) r>1 인 경우 coswt 항의 계수(진폭)가 마이너스(-)가 되기 때문에 위상이 반전됩니다.

위상이 반전된다는 뜻은 F(t)가 위아래로 움직이는 움직임과 질량체 m의 움직임이 반대로라는 뜻입니다.

외력이 위로 작용하면 질량체 m은 아래로 움직이고, 아래로 작용하면 질량체 m은 위로 움직입니다.

(iii) r = 1인 경우가 바로 공명현상(resonance)인데 공명현상에서의 해는 r -> 1로 극한을 보내 구할 수 있습니다.

아래 식에서 시작합니다.

1) cos 항을 정리합니다.

2) 우변의 세 번째 항에 극한을 취합니다(r->1 은 w->wn을 의미합니다)

여기서 0/0꼴이므로 로피탈의 정리를 사용해줍니다.

포인트는 변수가 "w"라는것입니다. 분자에 있는 coswnt 항은 상수취급이 되어 w에 대해 미분하면 0이 됩니다.

정리하면 다음과 같습니다.

r = 1인 경우 공명항이 tsint 이기 때문에 진폭이 무한대로 증가하게 됩니다.

때문에 설계시 input 진동수와 공명을 피할 수 있도록 고유진동수를 잘 고려해야 합니다.

5. 결론 및 예제

harmonic input에 대해 total response는 다음과 같습니다.

frequency ratio와 static deflection의 정의를 사용해 나타내면 다음과 같습니다.

r>1인 경우 위상이 반대로 뒤집히고

r=1인 경우 공명현상이 발생합니다.

공명이 발생할 경우 해는 다음과 같습니다.

(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system 에 F(t) = 400cos10t N의 외력이 가해진다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s

위 식을 쓸건데, 초기조건을 정리하고 필요한 값들을 계산해주면 간단히 끝납니다.

끝났습니다. 이제 공식에 대입해줍시다.

[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델

섭교수 — Wed, 27 Mar 2024 09:35:15 +0900

#기계진동

자유진동(Free Vibration)이라 함은 외력이 작용하지 않는 상황입니다.

즉 우변이 0인 제차방정식이라는 거죠

목차

1. 1차원 감쇄모델

2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

3. 결론과 예제

1. 1차원 감쇄모델

1차원 감쇄모델은 다음과 같이 스프링 요소, 댐퍼 요소, 질량 요소로 구성됩니다

운동방정식은 다음과 같습니다.

2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

이 운동방정식의 해는 아래와 같은 과정으로 구할 수 있습니다

해를 설정하고

이를 미분방정식에 대입합니다.

위 이차방정식을 풉니다

그럼 근호 안의 부호에 따라 세 가지 해의 양상이 나타납니다.

이 세 가지 경우 중 우리가 가장 많이 접하게 되는 것은 세 번째 케이스입니다.

삼각함수와 지수함수의 곱으로 표현된 저 형태가 가장 안정적이고(기계장치에 무리를 주지 않으며) 실현 가능성이 큰 해입니다.

아래 그림에서 노란색 커브를 Envelope Curve라 합니다.

이 세 가지 해가 갖는 물리적 의미는 감쇄기가 달려있으면 그 정도에 관계없이 항상 수렴하는 방향으로 운동하게 된다는 것입니다.

case 3의 해의 표현의 마지막 부분을 자세히 설명하겠습니다.

꼬불꼬불한 것은 "xi"라고 읽고 damping ratio입니다.

원래 damping ratio의 정의는 아래와 같이 미분방정식의 c를 critical damped 상황일 때의 c값으로 나눈 것입니다.

위 형태의 미분방정식에서 적절히 수들을 정리하면 아래와 같이 정리되는데

wn을 natural frequency, wd를 damped natural frequency라 합니다.

참고로 natural frequency의 단위는 [1/s] (또는 rad/s) 입니다.

C1과 C2는 미분방정식의 초기조건(변위x(0)와 속도 x'(0)) 을 통해 구할 수 있습니다.

다른 방식으로 아래와 같이 하나의 삼각함수로 표현할 수 있습니다.

코사인으로 표현하고 싶다면 아래 표현을 사용합니다.

C1, C2 를 초기조건으로부터 구하는 공식이 있긴 합니다만 저는 그때그때 주어지는 초깃값을 넣어서 풀었습니다.

문제를 풀 때 이 식을 직접 유도하는 상황은 없구요 공식을 외워서 초기조건과 물성치(m, c, k)만 대입해서 해를 구하면 됩니다.

(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system의 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s

아래 공식을 사용할 건데 필요한 값들을 모두 계산해주겠습니다.

먼저 damping ratio와 natural frequency를 계산하고

damped natural frequecy를 구합니다.

다음으로는 C1과 C2를 구합니다.

이를 해 공식에 대입하면 다음과 같이 x(t)를 구할 수 있습니다.

[편입수학] 한양대 2023학년도 완전미분방정식

섭교수 — Tue, 26 Mar 2024 09:30:06 +0900

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출

공업수학 과목에 속한 미분방정식 문제가 나왔습니다.

1. Main Concept

미분방정식 중에서도 1계 상미분 방정식 단원의 "완전미분방정식"(Exact ODE)이 출제되었습니다.

완전미분방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다.

(1) 완전성 검사 : M을 y에 대해 편미분한 것과 N을 x에 대해 편미분한 것을 비교한다.

(2) u = int(M) dx +k(y) 로 설정. 또는 u = int(N)dy + k(x) 로 설정.

(3) u의 편도함수가 N임을 (M임을) 이용해 k(y) 또는 k(x)를 결정한다.

(4) u = C꼴의 해를 정리한다.

만약 (1) 완전성 검사(test exactness)를 수행했는데 양변이 다르다면 적분인자를 구해주어야 하는 문제입니다. 적분인자를 구하는 것이 시간이 오래 걸리고 쉽지 않지만 이 문제는 적분인자 문제는 아니었습니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222096923593

[공업수학] 1.4-3 적분인자(Integrating Factor)

이번 챕터는 완전미분방정식이 아닌 애들을 완전미분방정식으로 만들어주는 적분인자에 대해서 알아봅시다....

blog.naver.com

2. Problem

초기조건을 주었으니 적분상수까지 처리해서 해를 완벽하게 구하고

x=2를 대입해 y(2)를 구하는 문제였습니다.

먼저 미분방정식을 보면 어떤 방정식인지(이 문제는 1계 상미분 (비선형) 방정식) 알 수 있어야 하고

즉시 각각에 맞는 풀이를 떠올릴 수 있어야 합니다.

(1) 분류 :

- ODE / PDE 인가?

- 미방의 계수는? 1계 / 2계 / n계

(2) 각 분류에 맞는 풀이방법 채택

- 이 문제에서는 완전미분방정식을 푸는 방법

[편입수학] 한양대 2023학년도 행렬식 구하기

섭교수 — Mon, 25 Mar 2024 12:28:52 +0900

한양대 2023학년도 자연계열 수학 기출

선형대수학 과목에 속한 행렬식 문제가 나왔습니다.

1. Main Concept

행렬식의 성질을 이용해 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 문제가 출제되었습니다.

연립방정식의 해를 구할 때 처음 등장한 기초 행연산(기본행연산; Elementary Row Operation)이죠

기존의 행렬을 A, 기초행연산을 수행한 행렬을 B라고 하면 다음 관계가 성립합니다

(1) 은 두 행의 위치를 바꾸는 interchange

(2) 은 한 행에 상수를 곱해 다른 행에 더하는 replacement

(3) 은 한 행에 상수배를 곱하는 scaling

2. Problem

이 문제는 거기에 더해 "삼각행렬의 행렬식"이라는 개념이 추가되었습니다.

왼쪽 위 1행 1열의 3이 없다면 단순히 대각성분들의 곱으로 행렬식을 계산할 수 있는데, 그것이 어려운 상황입니다.

그렇기 때문에 기초행연산을 수행해서 주어진 행렬을 간단하게 만들고 나서 행렬식을 계산합니다.

Row replacement를 수행하여((-3) x 6행을 1행에 더하여 1행 1열의 3을 없애기 위함) 삼각행렬을 만들고

그 행렬식이 기존의 행렬식과 같기 때문에 (Row replacement시 행렬식의 값이 변하지 않음)

대각성분들을 곱해 답을 얻을 수 있습니다.

물론 생각나지 않는 경우 통상적인 방법인 여인자 정리(여인수 전개, Cofactor Expansion)를 사용해 풀 수도 있습니다.

참고:

https://ximera.osu.edu/la/LinearAlgebra/DET-M-0030/main

DET-0030: Elementary Row Operations and the Determinant

We examine the effect of elementary row operations on the determinant and use row reduction algorithm to compute the determinant.

ximera.osu.edu

푸리에 급수 예제

섭교수 — Tue, 27 Feb 2024 22:55:13 +0900

#공업수학

#미적분학

오늘은 푸리에 급수전개를 구하는 몇 가지 예제를 풀어봅시다

목차

0. Intro

1. Definitions

2. Examples

3. Summary

https://blog.naver.com/subprofessor/222150692985

[미분적분학] 푸리에 급수 (Fourier Series)

#미분적분학 사실 Erwin O. Kreyszig의 공업수학에 나오는 내용이지만 너무 AWESOME한 개념이기...

blog.naver.com

푸리에 급수란, 주기함수를 삼각함수들의 합으로 나타낸 것을 말합니다.

테일러 급수와 같이 함수 f(x)를 기본적인 함수들로 쪼개어 나타내는 것인데, 푸리에 급수는 "주기 함수"를 대상으로 한다는 특징이 있습니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222106300471

[미분적분학] 테일러 급수전개

#미분적분학 테일러 급수전개는 미분방정식을 공부하면서도 나오는 내용이고, 어떤 값을 근사하는 데도 사...

blog.naver.com

> 주기가 2p인 함수의 푸리에 급수 전개

각각의 계수는 다음과 같습니다.

교재에 따라서 상수항인 a0/2를 a0로 표현하기도 합니다.

Examples

푸리에 급수 전개를 빠르게 수행하기 위해서는 주어진 함수와 각각의 계수가 의미하는 바를 잘 알아야 합니다.

1) 상수항인 a0/2는 f(x)의 평균값을 의미 (함수의 평균값 = 면적 / 한 주기)

2) y축 대칭 -> bn = 0

3) 원점 또는 (0, a0/2)대칭 -> an = 0

코사인 함수가 y축 대칭이니 그 계수인 an이 y축 대칭과 관련이 있고

사인 함수가 원점 대칭이니 그 계수인 bn이 점 대칭과 관련이 있다고 연결지어 기억해두시면 쉽습니다.

(예제 1) f(x)에 대하여 푸리에 급수 전개를 수행하여라

f(x)의 개형은 다음과 같습니다.

우리가 관심있는것은 [-π, π] 이니까 그 부분만 떼어서 보자구요

먼저, a0를 구하기 위해 한 주기에서의 평균을 구합니다.

넓이를 구하고

그것을 구간의 길이인 2π로 나누면 평균 함숫값이 나옵니다

이 함수는 별다른 대칭성을 찾을 수 없기 때문에 an과 bn을 모두 구해주어야 합니다.

푸리에 급수에서 계수를 구할 때 부분적분(Integration by parts) 을 활용해야 하는 경우가 많으니 부분적분 기초를 충분히 연습하시고 푸리에 급수를 공부하시는 것을 추천드립니다

최종적인 f(x)의 푸리에 급수 전개는 다음과 같습니다.

(예제 2) f(x)에 대하여 푸리에 급수 전개를 수행하여라

먼저 f(x)의 평균값을 구합니다.

[-1,0]에서의 넓이는 직각삼각형의 넓이이니 1/2, [0,1]에서의 넓이도 마찬가지로 1/2입니다.

즉 한 주기에서 함숫값의 평균은 (1/2+1/2)/2 = 1/2가 됩니다

이럴 거면 a0/2는 왜 정의식이 있냐고 하실 수 있는데,

이러한 방법으로 구할 수 없는 복잡한 상황에서 적분으로 표현된 정의식을 사용해야 합니다.

다음으로는 f(x)의 형태가 y축 대칭이므로 bn = 0 이라는 사실을 알 수 있습니다

정의에 따라 an을 구하면 다음과 같습니다.

a0의 값과 an, bn의 존재여부를 f(x)의 형태로부터 알 수 있지만,

an과 bn은 실제 적분을 계산해서 구해주어야 합니다.

몇 가지 복잡한 부분적분을 외워서 속도를 올릴 수도 있는데, an 또는 bn을 계산하지 않게 하는 이점만 가져가도 충분하다고 생각합니다.

(예제 3) f(x)에 대하여 푸리에 급수 전개를 수행하여라

정의식에 f(x)를 대입해봅시다

주기가 다른 두 삼각함수의 곱은 다음과 같은 공식을 사용해 덧셈꼴로 분해할 수 있습니다.

따라서 an은 다음과 같습니다.

같은 방법으로 bn을 구합니다

f(x)의 푸리에 급수 전개는 다음과 같습니다.

Summary

푸리에 급수 전개를 빠르게, 그리고 정확하게 하기 위해서는 적분능력이 필요합니다.

그중에서도 부분적분을 정확하게 하는 연습이 필요합니다.

a0은 구간의 평균값(넓이/구간의 길이)

an와 bn은 각각 대칭성을 기준으로 존재여부를 따집니다.

만약 점대칭이라면 -> an = 0 이므로 구하지 않고

만약 y충 대칭이라면 -> bn = 0 이므로 구하지 않습니다.

계산량을 절반 정도로 줄여주는 이점이 있기 때문에 공부하실 때 "정말 그런가..?"에서 끝내지 마시고 직접 구해서 0이 된다는 것을 확인해보시면 좋겠습니다.

감사합니다

작업관리자 대체 프로그램 : Process Hacker 다운로드 + 꿀팁

섭교수 — Wed, 24 Jan 2024 21:05:57 +0900

#몰컴

#작업관리자

공공기관, 피시방 등 환경적 제한으로 인해 작업관리자를 실행할 수 없는 경우가 있습니다.

그럴 때 작업관리자 대용으로 사용할 수 있는 강력한 도구가 바로 Process Hacker입니다

간혹 백신 프로그램에서 주의 알림이 뜨는데 프로세스 관리 기능이 들어있어서 그러는 것이니 괜찮습니다

> 다운로드

https://processhacker.sourceforge.io/downloads.php

Downloads - Process Hacker

processhacker.sourceforge.io

나오는 화면에서 Binaries (Portable)을 클릭해 다운받습니다.

Setup 파일을 받아도 되지만 Setup이 차단되는 경우도 있기 때문에 Portable 버전을 사용합니다

압축을 풀고 운영체제에 맞게 x64(64비트), x86(32비트) 를 선택해 실행하면 됩니다

원하는 프로그램에 우클릭 - Terminate(또는 Terminate tree) 를 누르면 해당 프로그램이 종료됩니다

학교 컴퓨터실에서 종종 몰컴을 한 기억이 있는데

관리 프로그램이 항상 다시 살아나서 참 난감했던 기억이 있습니다

프로그램이 실행중이면 삭제가 불가능하니 말이죠

일단 나의 몰컴을 방해하는 관리 프로그램이 무엇인지.. 면밀한 조사를 통해 알아낸 다음

Open file location을 누르면 해당 프로그램이 위치한 폴더를 알 수 있습니다.

Terminate tree 이후 프로그램이 다시 살아나기 전에 미리 열어둔 폴더의 프로그램을 삭제하면

다시 살아나는 일 없이 즐거운 몰컴을 했던

그런 기억이 있습니다.. ^^

용도에 알맞게 사용하시길 바래요

[공지] 수학/역학 문제 질문받습니다

섭교수 — Wed, 17 Jan 2024 20:57:01 +0900

블로그를 이용하시는 분들이 보다 자세한 성장을 이룰 수 있도록 질문용 오픈채팅을 운영합니다

범위

> 수학 : 중등수학부터 대학 미적분학, 선형대수학, 공업수학

> 역학 : 일반물리학(역학 파트), 정역학, 동역학, 열역학, 유체역학

1인 2문제까지 무료로 답변해드리며 기본 프로필로만 입장가능하니 이점 양해 바랍니다

https://open.kakao.com/o/sQdRej1f

섭교수 질문방

open.kakao.com

[열전달] 1D transient conduction(1) : Lumped Capacitance Method

섭교수 — Sat, 6 Jan 2024 08:00:36 +0900

#열전달

transient (비정상상태)문제는 온도분포가 공간만의 함수가 아니라 시간에 대해서도 변화하는 문제입니다. 일정 온도를 유지하는 것이 아니라 냉각, 가열 같이 온도가 시간에 따라 변하는 문제를 다루는데, 크게 세 가지 방법으로 이 transient 문제를 해석할 수 있습니다.

1) Lumped Capacitance Method : 공간의 영향이 작은 경우 T(t, x, y, z) => T(t)

2) Analytical Solution : 일반적인 경우, 푸리에 급수 형태의 해 => one term approximation

3) Similarity Solution : semi-infinte bar에 대한 해

이 중 오늘은 첫 번째 방법은 Lumped capacitance method에 대해 알아보겠습니다.

1. Lumped Capacitance Method

Lumped Capacitance Method, 통칭 LCM란 하나의 덩어리로 고체를 취급해 온도분포가 공간에 따른 변화가 거의 없고 오직 시간에 따라서만 변한다고 가정하는 방법입니다.

쉽게 말해서 유체 속의 고체를 하나의 "점"처럼 생각한다는 것입니다.

그렇게 되면 고체 내부의 전도 효과를 무시하고 유체와의 대류 효과가 지배적인 경우로 문제를 단순화할 수 있습니다.

주로 열처리한 구체를 식히거나 수조에 어떤 물체를 넣어 냉각시키는 상황에 적용합니다.

> LCM : 유체 안에 놓인 고체의 온도분포 식

Bi : Biot number

Fo : Fourier number

이 방법을 사용할 수 있는 조건은 무차원수인 Biot number와 관계가 있습니다

h는 대류열전달 계수, k는 고체의 전도 열전달 계수, L은 특성길이(부피/표면적)입니다.

Biot number가 1보다 매우 작은 경우에 이 LCM을 사용할 수 있습니다.

열 회로 해석에서 전도와 대류의 열저항은 다음과 같습니다

즉 Biot number가 의미하는 것은 대류 열전달 저항 대비 전도 열전달 계수입니다.

Bi >> 1 이면 전도를 고려해야 하는 상황이 되어 고체 내부 온도분포가 크게 차이나게 됩니다.

참고로 푸리에 넘버는 다음과 같이 정의됩니다

2. Derivation

유도를 위해 에너지 보존 법칙을 사용합시다

"냉각" 상황이라 가정합시다.

들어오는 에너지(Ein)와 열 생성(Eg)는 없고 대류에 의해 열이 빠져나가고 있으므로 아래와 같이 식이 정리됩니다.

이때 나가는 에너지와 저장량(storage 항)은 다음과 같습니다.

물성치가(밀도, 비열)이 일정하다는 가정 하에 아래와 같이 정리됩니다.

여기서 ρ는 고체의 밀도, V는 고체의 부피, C는 고체의 비열입니다.

다음 그림과 같이 시간에 대한 1계 미분방정식을 얻게 되는데

excess temperature θ(t)를 정의하면 간단히 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

<참고>

θ(0)가 상수이기 때문에

이것을 양변에 나눠주어 최종적으로 시간에 따른 온도분포를 구할 수 있습니다.

As는 대류가 일어나는 고체의 표면적을 의미합니다.

3. Example

(예제) 직경이 12mm인 금속 구체가 어닐링 공정 중 1150K 까지 가열되었다.

주변 공기 온도가 325K이고 대류열전달 계수와 금속 구체의 물성치가 주어질 때,

구체가 400K로 식는 데까지 걸리는 시간을 구하여라.

(i) Check Biot Number

먼저, LCM을 사용하기 전에 Biot number를 구해 확인해야 합니다.

여기서 L이 단순히 길이가 아니라 체적(부피)을 표면적으로 나눈 "특성길이"임을 주의해야 합니다.

Bi << 1 이므로 LCM을 사용할 수 있습니다.

(ii) LCM

이 예제는 시간 t를 구하는 문제고, 위 LCM 공식에 대입할 물성치와 온도는 모두 문제에서 주었습니다.

좌변에 들어갈 온도들은 다음과 같습니다.

최종 온도, 초기 온도, 주변 공기 온도와 물성치들을 대입하면 다음과 같이 t를 구할 수 있습니다.

양변에 자연로그(ln)을 취하고

t에 대해 정리합니다.

[공업수학] dominant eigenvalue와 고유값의 근사, MATLAB code

섭교수 — Fri, 5 Jan 2024 12:53:35 +0900

#선형대수학

> 미리보기

1. Approximation of Eigenvalues

행렬의 거듭제곱(power method)을 계산하여 고유값의 근사치를 구할 수 있습니다.

Xm이 행렬의 거듭제곱과 어떤 벡터 X0의 곱으로 정의될 때

고유값은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

위 식의 우변을 Rayleigh quotient라 부릅니다.

예시로 아래와 같은 2x2 행렬을 봅시다.

먼저, 임의의 X0를 설정합니다.

통상적인 고유값 계산 과정은 행렬식을 이용하는 것이지만 우리는 다른 방법으로 고유값의 근사치를 구할 것입니다.

연산이 많으니 가급적 간단한 X0를 사용하는 것이 좋겠죠?

다음으로 행렬의 거듭제곱을 사용해 적당히 큰 Xm을 얻습니다.

이를 반복해 X7까지 구해주었습니다.

이제 고유값을 근사해봅시다

본격적인 연산 전에, X7이 너무 크니 스케일링 해주겠습니다.

이것을 근사식에 대입합시다

근사식을 사용해 얻은 고유값은 5.0006입니다

고유값의 정의를 사용해 얻은 실제 고유값은 5, -2이니 근사가 잘 되었네요

2. Dominant Eigenvalue

사실 위에서 알아본 근사식은 그냥 고윳값이 아니라 "Dominant Eigenvalue"을 구하는 근사식입니다.

Dominant Eigenvalue의 정의는 다음과 같습니다.

n x n 행렬 A와 i = 1,2, . . . , n에 대하여 다음과 같은 k번째 고유값을 A의 dominant eigenvector라 한다.

즉 절댓값이 가장 큰 하나의 고유값을 의미합니다.

예를 들어

위 행렬의 고유값을 구해보면 0, -4, 3 이니

dominant eigenvalue는 -4가 됩니다.

아래의 행렬 B의 경우 고유값이 2, 5, 5 입니다.

이때 dominant eigenvalue는 5가 아니라 "존재하지 않는다"가 됩니다.

이점을 주의해야 합니다.

=> dominant eigenvaule : 절댓값이 가장 큰 고유값

=> 만약 절댓값이 가장 큰 고유값이 2개 이상이면 dominant eigenvalue는 없다(λ = -5, 5 처럼)

3. MATLAB Example

(예제) 3 x 3 행렬 A에 대해 dominant eigenvalue를 구하여라

임의로 10번 연산을 수행해 dominant eigenvalue를 근사하였습니다.

A = [1 2 -1;2 1 1;-1 1 0];
X = [1 1 1]';

n = 10;
for i = 1:n
    X = A*X;
    X = X/max(X); %Scaling
end
X10 = X

dominant_eigenvalue = (A*X10)'*X10/(X10'*X10)

실제 A의 고유값은 다음과 같습니다.

[매트랩] 논리 인덱싱(logical indexing)

섭교수 — Fri, 29 Dec 2023 08:00:56 +0900

#매트랩

v = [-1 2 3 -4 5 -6 -7 -8 9 10 -11 12 -13 14 -15 16 -17 18 19 20]

이라는 배열에서 양수 요소만 추출하는 방법은 일반적인 프로그래밍 언어에서 반복문과 조건문으로 수행된다

v = [-1 2 3 -4 5 -6 -7 -8 9 10 -11 12 -13 14 -15 16 -17 18 19 20];
w = [];
j = 0;
for i = 1:length(v)
	if v(i) > 0
	j = j+1;
	w(j) = v(i);
	i = i+1;
	end
end

매트랩에서는 논리 인덱싱이라는 기능을 사용해 더욱 간단하게 코드를 작성할 수 있다.

v = [-1 2 3 -4 5 -6 -7 -8 9 10 -11 12 -13 14 -15 16 -17 18 19 20];
w = [];
w = v(v>0);

논리 인덱싱이란 논리값으로 이루어진 배열을 사용한 인덱싱을 말한다

문자나 배열에 조건을 입력하면 논리값으로 이루어진 배열이 반환된다

앞서 살펴본 예제에서 사용된 v>0은 다음과 같은 결과를 출력한다.

이것을 인덱스에 넣게 되면 1인 자리의 인덱스만 입력된다. 즉

2 3 5 9 10 12 14 16 18 19 20 의 인덱스만 추출된다는 것

논리 인덱싱은 다시말해 인덱스 자리에 조건을 입력해 참이 되도록 하는 인덱스를 불러오는 기능이다

이때 logical 배열에서 0인 요소는 포함이 되지 않고 참인 것들만 포함된다

응용1

만약 행렬에 대해 논리 인덱싱을 사용하는 경우

logical 행렬이 출력된다

하지만 이를 인덱스로 활용하게 되면 열벡터가 출력된다

매트랩에서는 인덱스를 1열1행 = 1, 1열 2행 = 2, 1열 3행 = 3, 2열 1행 = 4 와 같은 방식으로도 구성하기 때문이다

예를들어 위 행렬에 대해 a(4)를 입력하면 2열 1행의 요소가 출력된다

응용2

다른 변수를 선언하지 않고 바로 조건에 해당하는 값을 업데이트 할 수 있다

두 행렬의 크기를 비교해 큰 값만 가지도록 행렬 A 업데이트하기

[선형대수학] 회전행렬(Rotation matrix), 회전변환

섭교수 — Thu, 28 Dec 2023 08:00:01 +0900

#선형대수학

2차원 평면에서 반시계방향으로 θ만큼 회전한 회전행렬은 다음과 같이 표현된다

열벡터 형태로 표시된 [x,y]를 이 행렬에 곱하면 반시계방향으로 θ만큼 회전이 된다.

여기서 [x,y]가 의미하는 것은 점이 될 수도 있고, 도형이 될 수도 있다.

이것을 사용해 이차곡선을 회전시킬 수도 있다.

위 타원을 반시계방향으로 45도 회전한 도형의 방정식을 구해보자

먼저 회전행렬을 정의하고

그 다음 회전 변환 식을 이용해

x', y' 에 대한 식을 얻는다.

우리가 가지고 있는 것은 x, y에 대한 관계식(타원의 방정식)이므로

x와 y에 대해 식을 정리해서 넣어주자

타원에 방정식에 정리한 x, y를 넣어주고 정리하면

아래와 같은 식을 얻는다.

프라임(')을 날려주면 회전된 도형의 방정식을 얻는다.

회전 변환이 타원, 쌍곡선, 포물선과 같은 이차곡선에만 한정되는 것은 아니다.

이차함수에도 적용 가능하고

초월함수에도 적용할 수 있다.

단지 explicit function (y = f(x)) 형태로 표현이 안 될 뿐이지 모두 회전할 수 있다.

[건국대 편입 기출] 매개변수 곡선의 접선

섭교수 — Wed, 27 Dec 2023 08:00:37 +0900

#편입수학

건국대학교 입학처에 게시되어 있는 2023학년도 자연계 기출문제입니다.

문제를 빠르게 풀어나가기 위해서는 어떤 개념으로 구성된 문제인지를 빠르게 파악해야 합니다.

편입시험에서는 메인이 되는 개념 한 가지를 중심으로 문제를 구성하기 때문에

중심이 되는 키워드를 파악하는 것이 중요합니다.

이 문제의 <키워드>는 "접선"입니다.

vector calculus 단원의 parametric curve 에 속하는 문제이며

평면과 평행이라는 기초개념이 <조건>으로 제시되었습니다.

> 매개변수 곡선의 접선

기본적으로 접선은 직선이기 때문에

3차원 상에서 직선의 방정식 표현부터 떠올려봅시다.

여기서 (x1, y1, z1)는 직선이 지나는 점을, (a,b,c)는 직선의 방향벡터입니다.

접선의 경우 접하는 점인 "접점"이 바로 (x1, y1, z1)이 되고 "접선벡터"가 (a,b,c)가 되겠죠

> 평면과 평행

직선의 특성은 방향벡터, 평면의 특성은 법선벡터(normal vector)가 대표합니다.

평면과 평행하다는 것은 바로 이 법선벡터와 수직이라는 말이기 때문에

직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터가 수직이라는 조건을

"방향벡터와 법선벡터의 내적이 0이다" 라는 관계식으로 해석해주시면 됩니다.

평면의 법선벡터는 평면의 방정식에서 x,y,z의 계수와 같기 때문에

이 문제에서는 <1,3,0>이 됩니다.

> 곡선의 접선벡터

매개변수로 표현된 곡선 위의 한 점에서의 접선벡터는 그 곡선을 매개변수로 미분한 것입니다.

이 문제의 경우 임의의 시점 t에서 접선벡터는 다음과 같습니다.

본격적으로 문제를 풀어봅시다.

1) 접선벡터 구하기

2) 법선벡터 구하기

3) 두 벡터가 수직 -> 내적이 0

이 삼각방정식을 풀면 t를 구할 수 있습니다.(t의 범위가 문제에서 0 ≤ t ≤ π 이기 때문에 t = π/3 )

4) r(t)에 대입하여 점 P 구하기

이렇게 탄탄한 개념을 기반으로 풀어나가면 1분도 걸리지 않는 쉬운 문제였습니다.

[중앙대 편입 기출] 곡선과 점 사이의 최소 거리(최단거리) 구하기

섭교수 — Tue, 26 Dec 2023 22:24:33 +0900

#편입수학

※ 중앙대 2023학년도 편입 기출입니다

곡선과 점 사이의 최소 거리는 라그랑주 승수법으로 구할 수 있습니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222590371392

[미분적분학] 라그랑주 승수법 예제

#미분적분학 #라그랑주승수법 라그랑주 승수법에 대해 알아보고 예제를 풀어봅시다. 1. 라그랑주 승수법(L...

blog.naver.com

거리 문제의 포인트는 다음 세 가지 입니다.

(1) 목적함수를 "거리의 제곱"으로 두기

(2) 케이스 누락되지 않도록

(3) 보기를 통해 눈치로 케이스 좁히기

라그랑주 승수법을 통해 최대, 최소를 구하는 방법은 다음과 같습니다.

(1) 목적함수 f(x,y) 와 제약조건 g(x,y) 정리

(2) 함수 L 설정

(3) x,y,λ 에 대해 각각 편미분한 것 = 0

(4) 최대, 최소 고르기

L을 x로 편미분한 식에서 두 가지 케이스가 나옵니다.

x = 0이거나 x = 2/3λ 이거나.

먼저 x = 0에 대해 최소를 구하면 루트 3이 나오는데,

보기에 루트 3이 없으니 두 번째 케이스라는 것을 눈치로 알 수 있습니다.

또다시 y가 양수, 음수인 두 가지 케이스로 분기가 되는데

이때 목적함수를 생각해보면 y가 양수인 케이스가 최소 거리가 될 것임을 예상할 수 있습니다.

따라서 최소 거리는 다음과 같습니다.

[선형대수학] 고윳값, 고유벡터부터 대각화, 스펙트럼 분해까지

섭교수 — Tue, 12 Dec 2023 14:27:02 +0900

#선형대수학

#공업수학

Contents
- Eigenvalue(고윳값 또는 고유치) & Eigenvector
- Diagonalization
- Spectral Decomposition

1. Eigenvalue & Eigenvector

고윳값(또는 고유치)과 고유벡터는 정방행렬 A(square matrix, n x n)에 대해 아래 식을 만족하는 상수 λ(lambda, 람다)와 그에 대응되는 영벡터가 아닌 벡터 v를 말한다.

* 고유벡터는 0이 아니어야 하지만 고윳값은 0일 수 있다.

* 각 고유벡터는 앞서 구한 고윳값에 "대응"된다.

위 정의식을 조금 변형하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.

세 번째 줄의 행렬 방정식(벡터 v에 대한 방정식)이 0이 아닌 해를 가져야 한다.

정방행렬 A에 대하여 행렬방정식 Ax = 0이 0이 아닌 해를 가지는 필요충분조건은 행렬 A의 행렬식이 0인 것이다.

이것을 그대로 적용하면 상수 λ에 대한 방정식을 얻는다.

이것을 특성방정식(characteristic equation) 또는 고유방정식이라 부르며 각 행렬마다 가지는 고유한 방정식이다.

일반적으로 A가 nxn 행렬이면 특성방정식은 n차 방정식이 된다.

(예제 1) 행렬 A의 고윳값을 구하여라

특성방정식을 세워 고윳값을 구해주면 된다.

고유벡터는 앞서 구한 고윳값을 사용해 구할 수 있다.

위 방정식의 해가 바로 고윳값 λ에 대한 고유벡터가 된다.

즉 행렬방정식의 해를 직접 구할 수 있어야 고유벡터를 구할 수 있다.

행렬방정식의 해는 "가우스 - 조던 소거법" 또는 Reduced Echelon Form을 통해 구할 수 있다.

https://subprofessor.tistory.com/46

[선형대수학] 선형방정식 (1)

#선형대수학 1. 선형방정식의 형태 (Linear equation) 선형방정식이란 아래와 같이 변수가 모두 일차항으로 이루어진 방정식을 말합니다 나중에 나오겠지만 위와 같은 상수와 변수간의 일차

subprofessor.tistory.com

https://subprofessor.tistory.com/47

[선형대수학] 선형방정식 (2)

#선형대수학 앞선 글) https://subprofessor.tistory.com/46 1. 선형방정식계를 푸는 법 (Solving a linear system) Elementary Row Operations (약어로 ERO, 한글로는 기본 행 연산이라고 번역?) 을 이용해 선형

subprofessor.tistory.com

고유벡터는 infinite solution(무수히 많은 해) 를 가지게 되는데 이중 간단한 것을 취해주면 된다.

(예제 2) 예제 1에서 구한 고윳값들에 대응되는 고유벡터들을 구하여라

앞서 구한 고윳값을 하나씩 아래 방정식에 넣어 해를 구해주면 된다.

방정식의 해 v가 다음과 같이 x1, x2 두 개의 성분으로 구성된다 할 때

최종적으로 얻은 행렬이 의미하는 것은 다음과 같다.

x1를 자유변수인 x2로 표현하자

고윳값 2에 대해서도 동일하게 고유벡터를 얻을 수 있다.

2. Diagonalization

그래서 고윳값과 고유벡터를 어디다가 쓸 수 있는가?

역행렬을 구하는 것에도 쓸 수 있고 행렬의 거듭제곱을 표현하는 것에도 유용하게 사용할 수 있지만

대표적인 응용으로는 대각화가 있다.

대각화란 아래와 같이 행렬 A를 표현할 수 있는 행렬 P와 대각행렬 D를 구하는 것이다.

* 행렬 P는 가역행렬(invertible matrix)

* 행렬 D는 대각행렬(diagonal matrix)

이렇게 표현해서 얻을 수 있는 이점은 행렬 A의 거듭제곱을 간단히 표현할 수 있다는 것이다.

대각행렬의 거듭제곱은 각각의 성분의 거듭제곱이기 때문에

직접 A의 거듭제곱을 계산하는 것보다 훨씬 계산이 용이해진다.

대각화를 하는 규칙은 다음과 같다.

1. 행렬 A의 고윳값과 고유벡터를 구하기

2. 고윳값으로 D 구성

3. 고유벡터들로 P 구성

4. P의 역행렬 구하기

(예제 3) 앞선 예제에서 살펴본 행렬 A에 대해 대각화를 수행하여라

고윳값으로 대각행렬 D를 구성한다.

그 다음으로는 대각행렬에 넣은 고윳값의 순서에 맞춰 고유벡터로 행렬 P를 구성한다.

마지막으로 역행렬을 구하면

다음과 같이 행렬 A를 대각화할 수 있다.

(예제 4) 대각화 : 행렬 B가 중복 고윳값을 가지는 경우

행렬 B의 고윳값을 구하면 0, 0, 3을 얻는다.

중복되는 고윳값에 대해 중복되는 만큼 고유벡터가 존재할 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있다.

이 예제는 고윳값이 중복되는 만큼 고유벡터가 존재하는 경우

따라서 고윳값 0에 대응되는 고유벡터는 다음과 같다.

고윳값 3에 대해서도 고유벡터를 구하자

이것으로 대각화에 필요한 D 행렬, P 행렬을 구성하자

이것으로 대각화가 완료되었다.

3. Spectral Decomposition

스펙트럼 분해, 스펙트럴 분해로 번역되는데 이것은 특수한 행렬 A에 대한 대각화 방법의 일종이다.

스펙트럼 분해는 행렬 A가 대칭행렬인 경우 사용되는 대각화인데, 그람-슈미트 직교화 과정을 거친다는 특징이 있다.

즉 대칭행렬의 대각화 + 그람-슈미트 -> 스펙트럼 분해 인 것이다.

https://subprofessor.tistory.com/70

스펙트럼 분해는 다음과 같이 행렬 A를 표현하는 것을 말한다.

[선형대수학] 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmidt Process) 예제

그람-슈미트 과정은 임의의 벡터 집합으로부터 직교집합(Orthogonal set)을 구하는 과정입니다. 원래 가지고 있던 벡터 집합의 직교성 유무와 관계없이 한 벡터를 다른 벡터에 사영(projection)시킨 것

subprofessor.tistory.com

* A는 대칭행렬(symmetric matrix)

* P는 고유벡터로부터 얻은 직교행렬(orthonormal matrix)

대칭행렬이란 대각성분을 기준으로 행렬의 요소들이 대칭되는 행렬을 말하며 다음과 같이 기술된다

직교행렬 P는 P의 전치행렬과 곱하면 단위행렬을 반환한다

또 직교행렬을 구성하는 행들끼리의 내적, 열들끼리의 내적이 모두 0이라는 특징,

행벡터, 열벡터들의 크기가 모두 1이라는 특징이 있다.

스펙트럼 분해를 수행하는 과정은 다음과 같다.

1. 고윳값과 고유벡터를 구한다. => 고윳값으로 대각행렬 행렬 D를 얻는다.

2. 고유벡터들에 그람-슈미트 과정을 사용해 직교벡터집합을 얻는다

3. 직교벡터들을 각각의 크기로 나눠주어 정교직교벡터집합 P를 얻는다.

4. 대각화 형태로 표현한다.

직교벡터집합은 그람-슈미트 과정을 거쳐 얻은 직교벡터들을 말하고

정규직교벡터집합은 단순히 단위벡터들로 구성된 직교벡터집합을 말한다.

즉 고유벡터 -> 직교벡터 -> 단위(직교)벡터 순서로 P를 구하게 된다.

(예제 5) 앞선 예제 4에서 다룬 B에 대해 스펙트럼 분해를 수행하여라

그람-슈미트 과정을 수행하여 직교벡터들을 구하고(v1,v2,v3 => x1, x2, x3)

각 벡터를 각각의 크기로 나누어 직교행렬 P를 얻는다

스펙트럼분해의 최종 결과는 다음과 같다.

기존의 대각화처럼 행렬의 거듭제곱을 간단히 표현할 수도 있다

스펙트럼 분해의 장점

- 기존 대각화에서는 P의 역행렬을 구해야 하는데 역행렬을 구하는 것보다 단순히 P의 전치행렬을 구하는 것이 용이

- 물론 그람-슈미트 과정이 복잡하게 느껴질 수도 있음

[매트랩] anovan, fitlm, response surface

섭교수 — Sun, 10 Dec 2023 22:28:11 +0900

※ 통계분석과 관련된 내용을 다루고 있다

※ 매트랩에서 Statistis and Machine Learning Toolbox 애드온을 설치해야 오늘 다룰 함수들을 사용할 수 있다.

1. anovan

anovan : 다양한 factor들에 대한 분산분석을 시행하는 함수. p-value를 output으로 가지며 F-value, SS 등을 테이블로 보여준다

Data = [ [550 604] [669 650] [633 601] [642 635] [1037 1052] [749 868] ...
              [1075 1063] [729 860] ];
ALevels = [[-1 -1] [1 1] [-1 -1] [1 1] [-1 -1] [1 1] [-1 -1] [1 1]];
BLevels = [[-1 -1] [-1 -1] [1 1] [1 1] [-1 -1] [-1 -1] [1 1] [1 1]];
CLevels = [[-1 -1] [-1 -1] [-1 -1] [-1 -1] [1 1] [1 1] [1 1] [1 1]];
p = anovan(Data,{ALevels,BLevels,CLevels},'model','full','varnames',{'Gap','Flow','Power'})

factor : A,B,C

각 factor당 level은 두 개씩 존재(A+,A-,B+,B-,C+,C- ; +는 high(또는 있음)를 -는 low(또는 없음)을 의미)

이 예제코드는 시행당 2번의 replicate를 가진다. 이것을 배열 안에 배열로 묶어주었다

Data에는 실험값이, ALevels에는 아래 coded factors 표의 부호가 들어가주면 된다. B,C도 마찬가지

각 시행은 1,A,B,AB,C,AC,BC,ABC 를 의미하는데 factor가 두 개 이상 있는 것은 interaction 항이다.

코드를 실행하면 다음과 같은 분산분석표가 나온다

> 분산분석 표로부터 다음과 같은 해석을 가져간다

F value가 높으면 significant factor

p value가 작으면 significant factor

즉 significant factor는 Gap, Power, Gap*power(interaction) 세 가지이다

2. fitlm

선형 회귀 모델을 만드는 함수

tbl = table(ALevels',BLevels',CLevels',Data', 'VariableNames',{'A','B','C','Etch_Rate'})
mdl1 = fitlm(tbl,'Etch_Rate~A*B*C','ResponseVar','Etch_Rate','PredictorVars',{'A','B','C'})
mdl2 = fitlm(tbl,'Etch_Rate~A*C','ResponseVar','Etch_Rate','PredictorVars',{'A','C'})

먼저 table 함수를 사용해 table형 배열을 선언한다.

위 코드에서 조금 잘못 보이는 것이 있는데 table함수 내 열벡터를 넣어주기 위해 transpose(')를 해준 것이지 문자열을 입력한 것이 아니다

table(codedfactors . . . , 'VariableNames', {변수 이름들}) 형식으로 입력해준다.

(A,B,C) 부호가 두 번씩 반복되는 것은 앞서 anovan에서 살펴봤듯이 replicate = 2 인 실험데이터이기 때문

다음으로 fitlm 함수를 사용한다.

fitlm함수의 lm은 linear model의 약자로 이 함수는 선형 회귀 모델은 만들어준다

fitlm(tbl,'output이름~factor들(Wilkinson notation사용가능)','ResponseVar','output이름','PredcitorVars',{factor1, factor2, . . . }) 형식으로 입력

'ResponseVar', 'PredcitorVars' 는 고정

wilkinson notation이란 matlab 통계분석에서 많은 factor들에 대해 모두 입력하기가 번거로우니 간단히 나타낸 표기법이다

제외하는 factor가 없으니 A*B*C라 입력해주면 1,A,B,C,AB,AC,BC,ABC 8가지 항으로 구성된 회귀분석이 수행된다

1 + A*B + A*C + B*C + A:B:C 다섯 개의 항이 아니라

wilkinson notation으로 표시된 것이기 때문에 1+A+B+C+AB+AC+BC+ABC 를 의미한다

세 번째 줄의 코드는 앞서 anovan으로 구한 significant factor들로 구성한 선형 회귀 모델이다

3. response surface

X1 = -1:0.1:1 
X2 = X1 
[A,C]=meshgrid(X1,X2) 
etch_rate=776.06-50.813*A+153.06*C-76.812*A.*C

Gap = linspace(0.8,1.2,21)
Power = linspace(275,325,21)
surfc(Gap,Power,etch_rate)

x1은 -1부터 1까지 0.1 간격인 배열인데, 이것을 생성해서 meshgrid를 만드는 이유는

각 factor가 -1(low)부터 +1(high)까지인 격자를만들기 위해서다

linspace는 구간의 시작과 끝에 대해 등간격으로 배열을 만들어주는데 앞선 예제의 low, high factor level에 맞춰 만들어준다

x1, x2의 크기가 21이기 때문에 마지막에 21이 들어갔다

[열전달] 1차원 전도 예제(with heat generation)

섭교수 — Thu, 16 Nov 2023 12:10:51 +0900

#열전달

1. 직교좌표계 : Rectangular Coordinates

먼저, 직교좌표계의 확산방정식을 살펴봅시다.

steady, 1D, constant k인 경우 다음과 같이 정리됩니다.

2계 상미분 방정식을 풀면 다음과 같이 온도분포를 구할 수 있습니다.

<steady, 1D, constant k 조건에서 radial temperature distribution>

C1, C2는 적절한 경계조건이 주어지면 결정할 수 있습니다.

이 결과로부터 알 수 있는 것은 내부에 heat generation(혹은 heat sink)이 존재한다면 온도분포는 기존의 steady state일 때와 달리 선형이 아니라 이차곡선이 된다는 것입니다.

(예제 1) 아래 그림과 같이 열전도도가 다른 두 물질 A,B로 이루어진 벽에서 물질 A부분에서만 균일한 heat generation이 존재한다. 열이 다른 방향으로 분산되지 않고 오직 x방향으로만 흐른다고 가정할 때 T0, T1, T2 를 구하여라

대류에 의해 내부에서 발생된 heat 이 cooling 되며 balance를 이루고 있는 상황입니다.

문제에서 구해야 하는 것은 온도분포와 T0, T1, T2 입니다.

A 물체에서는 heat generation(volumetric heat generation)이 있고, B 물체에서는 heat generation이 없습니다.

또한 다른 물성을 가지는 물질들로 구성된 복합체의 경우 heat equation을 A, B 각각에 대해 따로 세워주어 문제를 해결해야 합니다.

1) heat equation for A

그리고 다음과 같은 경계조건을 얻습니다.

dT/dx = 0인 조건은 단열인 경우 경계조건입니다(q = -k dT/dx, q = 0)

이것을 적용하면 물체 A의 온도분포를 표현할 수 있습니다.

또한 경계조건으로부터 온도에 관한 관계식 하나를 얻습니다.

2) heat equation for B

마찬가지로 2계 상미분방정식의 해를 구해줍니다.

이번에는 다음과 같은 경계조건을 생각해볼 수 있습니다.

첫 번째 경계조건은 두 물체가 맞닿아있는 x = 0.05 지점에서 온도가 같다는 것이고

세 번째 경계조건은 두 물체가 맞닿아있는 x = 0.05 지점에서 heat flux가 같다는 것입니다.

heat flux에 푸리에 법칙을 적용하면 다음과 같이 경계조건이 해석됩니다.

T(0.05)와 T(0.07)조건을 사용해 C1, C2을 표현하고

heat flux 조건을 적용합니다.

여기서 두번째 관계식을 얻습니다.

3) Convection

우리가 알고 싶은 것은 T0, T1, T2 세 가지인데 식은 아직 두 개밖에 없습니다.

마지막 세 번째 관계식은 x = 0.07m 표면에서 대류 열전달과 전도 열전달의 balance로부터 얻을 수 있습니다.

지금까지 얻은 관계식 세 개를 정리해봅시다.

(2)와 (3)을 연립하면 T2를 구할 수 있습니다.

문제의 조건에서 T∞ = 30℃ 이므로 주어진 상수들을 대입해 다음과 같이 T2를 구할 수 있습니다.

마찬가지로 T2와 주어진 상수들을 사용해 T1과 T0을 구할 수 있습니다.

> T1

> T0

따라서 T0 = 140℃, T1 = 115℃, T2 = 105℃ 입니다.

2. 원통 좌표계 : Cylindrical Coordinates

원통 좌표계에서 확산 방정식은 다음과 같습니다.

steady, 1D, constant k인 경우 다음과 같이 정리됩니다.

일반적인 경우(for general case) r = 0 인 원통의 중심부에서 heat flux가 0이기 때문에 (dT/dr = 0) C1 = 0입니다.

때문에 아래와 같이 온도분포가 이차곡선의 양상을 보이게 됩니다.

<steady, 1D, constant k 조건에서 radial temperature distribution>

(예제 2) 길이가 L, 반지름이 ro인 도선의 내부 열생성량이 q'이고 표면이 대류에 의해 냉각되어 표면온도가 일정하게 유지되고 있다. 도선의 길이방향 단면이 완벽하게 단열되어 있다고 가정한다면, 즉 모든 열 출압이 옆면을 통해서 일어난다고 할 때 표면 온도를 대기온도 T∞와 주어진 물성들로 표현하여라.

1) 경계조건을 정리합니다.

표면 온도와

표면에서 heat flux가 이루는 balance를 경계조건으로 잡습니다.

2) 온도분포식에 경계조건을 적용

steady, 1D, constant k 조건에서 도선의 중심으로부터 거리에 따른 온도분포는 다음과 같습니다.

경계조건을 적용해줍시다.

이를 정리하면 표면온도를 표현할 수 있습니다.

첫 번째 온도 경계조건은 사용되지 않았는데, 그저 heat flux만을 사용했기 때문입니다.

이것만으로도 문제가 요구하는 것을 구할 수 있지만 추가적으로 도선 내부의 전체적인 temperature distribution을 알기 위해서는 해당 경계 조건을 사용해야 합니다.

[열전달] 1차원 전도 예제(1D conduction example)

섭교수 — Sun, 5 Nov 2023 13:16:54 +0900

#열전달

유체역학에서 주요 관심사가 압력분포와 속도분포이듯 열전달에서의 주요 관심사는 온도분포(temperature distribution)와 열전달량(heat)입니다.

온도분포를 알게 되면 heat flux와 heat rate를 알 수 있기 때문인데 세 가지 열전달 모드(전도, 대류, 복사)에 대한 heat은 모두 temperature 로 기술되어 있습니다.

때문에 열전달에서 물어보는 것이 대부분 이 온도와 열전달량(heat flux, heat rate)에 초점이 맞춰질 수밖에 없습니다.

이런 이유로 우리도 문제를 대할 때 온도분포와 열전달량에 관심을 가지는 것이 자연스러운 수순입니다.

간단한 예제들로 전도 열전달, 온도분포, 열전달량에 익숙해져봅시다.

Example

(예제 1) 아래 그림과 같이 단열재가 설치되어 있다. 실내 온도는 섭씨 25도, 실외 온도는 영하 -10도 일 때, 단열재를 통과하는 열유속(heat flux)를 구하여라. 이때 L = 200mm 이고 단면에 수직한 열전달만을 고려한다.

고체를 지나가는 heat flux를 구하는 것이니, 이 문제는 열전달 세 가지 모드 중 전도에 관한 문제입니다.

전도 열전달 공식은 다음과 같습니다.

위 식에서 좌변이 heat flux고 우변의 k가 열 전도도(thermal conductivity)입니다.

또한 열이 흐르는 방향은 높은 온도에서 낮은 온도이므로 문제에 표시된 x축 방향(x = 0 to x = L)이 바로 heat 의 방향이 됩니다.

steady stete, 1D 가정을 적용하면 다음과 같이 heat flux를 구할 수 있습니다.

여기서 온도 분포를 단순히 선형 분포라 둔 이유는 확산방정식의 해로부터 얻어지는 결론이기 때문입니다.

https://subprofessor.tistory.com/194

steady state , constant k의 경우 확산 방정식은 다음과 같습니다.

[열전달] 열전도 확산방정식 유도

CONTENTS 0. Introduction 1. Derive heat equation 2. Heat equation for specific case 3. Cylinderical, spherical coordinates 0. Introduction energy equation으로부터 heat diffusion equation을 유도해보겠습니다. heat equation he

subprofessor.tistory.com

1D의 경우 아래와 같이 정리되고

위 미분방정식의 해를 구하면 선형 프로파일을 얻습니다.

그렇기 때문에 전도 열전달에서 단순히 온도 차이를 길이로 나눈 것이 열전달량이 되는 것입니다.

(예제 2) 어떤 고체 물질의 내부 온도 분포가 다음과 같을 때, 각 위치에서 heat flux를 구하여라.

단 A, B, C는 상수

고체 물질 내부에 전도에 의한 열전달만이 존재한다고 가정합시다.

위 conduction heat flux 공식에 주어진 온도 분포를 넣어줍니다.

따라서 각 위치에서의 heat flux는 다음과 같습니다.

(예제 3) 아래 그림의 symmetric shape 에 대해 steady state, 1D heat conduction을 가정하자. 내부에 열 생성이 없을 때(no internal heat generation) 열 전도도(thermal conductivity) k(x)를 유도하여라.

단면적, 온도 분포, 열 전달량(heat rate)은 다음과 같다.

heat rate는 heat flux에 단면적을 곱한 것이므로 다음과 같은 관계식을 가집니다.

우리가 가진 관계식에서 구해야 하는 것은 k이고, 주어진 것은 A, T, q이므로 위 관계식에 대입하면 k를 구할 수 있겠네요.

따라서 열전도도는 다음과 같습니다.

[열전달] 열전도 확산방정식 유도

섭교수 — Sun, 5 Nov 2023 13:15:54 +0900

CONTENTS

0. Introduction
1. Derive heat equation
2. Heat equation for specific case
3. Cylinderical, spherical coordinates

0. Introduction

energy equation으로부터 heat diffusion equation을 유도해보겠습니다.

heat equation

heat equation(heat diffusion equation)이란 온도분포 T = T(x,y,z,t)에 대한 미분방정식을 말합니다. 온도분포가 시간(t)과 공간(x,y,z)에 대한 함수라는 것을 알지만 그 관계를 규명하는 명확한 미분방정식이며 에너지 관계식(에너지 방정식 ; 에너지 보존법칙)으로부터 유도됩니다.

1. Derive

먼저, energy equation으로부터 control surface를 통해 control volume에 출입하는 energy + control volume 내의 energy generation(Eg) = control volume 내의 storage 되는 energy 임을 기술할 수 있습니다.

쉽게 말해 좌변은 (Influx) - (Outflux) + (Generation), 우변은 (Storage) 텀으로 구성된 것입니다.

(들어온 에너지) - (나간 에너지) + (에너지 생성) = (에너지 저장)

여기서 검사체적(질량을 가지는 어떤 물질) 내의 에너지는 다음과 같이 표현됩니다. C는 비열(specific heat), V는 검사체적의 부피입니다.

이것에 시간에 대한 편미분을 취해 우변의 energy storage term을 표현할 수 있습니다.

다음으로는 좌변의 influx와 outflux를 표현해야 하는데, 아래 그림과 같은 검사체적에 출입하는 에너지를 생각해봅시다.

heat transfer, Incropera. 7th

influx와 outflux가 다음과 같이 표현됩니다. 여기서 방향을 고려하지 않는 것은 처음 고려된 energy equation이 CV를 대상으로하는 "scalar equation"이기 때문입니다.

그리고 outflux는 dx,dy,dz 만큼 떨어진 위치에서의 heat 이니 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

qx, qy, qz가 소거되므로 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 열전도 관계식을 적용하면

전도 heat flux는 다음과 같습니다. k는 thermal conductivity입니다.

여기에 conduction heat이 지나는 단면적을 곱해주면 heat rate (q)를 얻습니다.

앞선 influx와 outflux는 다음과 같이 정리됩니다.

다음은 generation term을 정리해봅시다.

검사체적 내부에서 volumetric heat generation이 q'으로 표현된다고 하면(단위 : W/m^3 ) 다음과 같이 정리됩니다.

지금까지의 과정을 종합하면 다음과 같습니다.

양변의 dxdydz를 나눠주면 다음과 같이 열확산 방정식(열전도)을 얻을 수 있습니다.

2. Case

실제 재료에서는 이방성을 가지는 경우가 많기 때문에 k가 상수라는 가정 없이는 미분기호 밖으로 나올 수 없습니다.

※ + constant k

del 연산자를 사용하면 다음과 같이 간결하게 정리할 수 있습니다.

※ + no heat generation (q = 0)

del 연산자를 사용하면 다음과 같이 간결하게 정리할 수 있습니다.

heat diffusivity를 이용하면 다음과 같이 더 간결하게 정리할 수 있습니다.

※ + steady state(T = T(x,y,z))

또는

3. Cylinderical, spherical coordinates

여기까지는 x,y,z 직교좌표에 대한 heat equation이었고 원통좌표계(cylindrical coordinate), 구면좌표계(spherical coordinate)에 대한 열확산 방정식은 다음과 같습니다.

> 원통좌표계

> 구면좌표계

[유체역학] 운동량 적분 방정식 유도(Momentum Integral Equation)

섭교수 — Fri, 6 Oct 2023 18:19:17 +0900

0. Introduction

1.경계층(Boundary Layer)

경계층(Boundary Layer)을 분석하는 것은 점성력이 지배적인 유동 영역과 그로 인한 손실(에너지, 운동량 등)을 계산하기 위함입니다.

경계층은 "유동속도가 Free stream velocity의 0.99배인 지점"으로 정의됩니다.

벽면에서 유동속도를 0이라 두면(경계조건) 벽면부터 경계층까지는 점차 속도가 증가하게 됩니다.

이때 "경계층 밖에서는 점성에 의한 효과를 무시할 수 있다"라는 해석이 가능해지는 것입니다.

Fundamentals of Fluid Mechanics(2009), Munson B.R.

경계층은 물체를 따라 유동하며 점점 성장하게 됩니다.

초기에는 층류 경계층으로 성장하다가 천이구간(Transition)을 지나 난류 경계층으로 성장하게 됩니다.

2. 배제 두께(Boundary layer displacement thickness; displacement thickness)

아래 그림은 경계층 δ 와 배제 두께 δ* 의 정의를 나타낸 그림입니다.

Fundamentals of Fluid Mechanics(2009), Munson B.R.

점성 효과로 인해 경계층 내부에서는 점성이 없었을 때 기대되는 유체의 유량에 손실이 일어나게 됩니다.

이 손실된 유량을 나타내는 것이 바로 배제 두께입니다.

유량을 통한 배제 두께의 수학적 정의는 다음과 같습니다. (Q = Av 사용한 것)

3. 운동량 두께(Momentum Thickness)

운동량 두께란 경계층 내부의 점성 효과로 인해 손실된 운동량을 의미합니다.(deficit in momentum flux)

이러한 정의로부터 다음과 같은 적분 표현을 가집니다.

경계층을 분석하는 것이 중요한 이유는 앞서 말했듯이 점성 효과를 분석하기 위함인데 이것은 점성으로 인한 Drag를 의미하기도 합니다.

경계층을 계산하기 위한 대표적인 방법으로는 Prandtl/Blasius의 경계층 분석(층류만 가능) 과 오늘 소개하는 운동량 적분 방정식이 있습니다.

1. Momentum Integral Equation

Momentum Integral Equation, Karman Integral Equation(von karman이 1921년에 이 방정식을 유도) 라 불리는 운동량 적분 방정식이란 경계층 이론의 주요 요소인 배제 두께와 운동량 두께로부터 벽면에 작용하는 전단응력을 구하는 방정식입니다.

순서대로 τw는 wall shear stress, ρ는 유체의 밀도, U는 free stream velocity(또는 U∞), Θ는 momentum thickness, δ*는 displacement thickness 입니다.

운동량 적분 방정식이 가지는 의미는 다음과 같습니다.

1. 벽면 전단응력(Wall shear stress)으로부터 항력(Drag)을 계산할 수 있기에 운동량 적분 방정식을 사용하는 것이다.

2. 배제 두께와 운동량 두께는 적절한 velocity profile을 가정함으로 구할 수 있다.

3. 운동량 적분 방정식은 Prandtl/Blasius solution과 달리 층류/난류 모두 유효하다.

Fundamentals of Fluid Mechanics(2009), Munson B.R.

유도과정이 길고 각 단계마다 다양한 개념적 이해가 요구됩니다.

(0) 연속방정식과 x방향 나비에-스톡스 방정식부터 시작

(1) 나비에-스톡스 방정식의 우변에서 베르누이 방정식을 적용

이때 U∞는 경계층 외부에서의 x방향 속도를, u는 경계층 내부를 포함하는 유체의 x방향 속도를 의미합니다.

또한 경계층 내부에서 유체의 속도가 y방향으로 변하는 정도가 x방향으로 변하는 것보다 훨씬 크다고 생각합니다.

즉 우변의 x방향 점성항을 무시할 수 있다는 것입니다.

이 두 가지 가정은 모두 Scale Analysis로부터 기인한 것이지만 여기서는 생략하겠습니다.

(2) 연속방정식의 양변에 u를 곱하고 나비에 스톡스 방정식과 더합니다.

더하고 나면 좌변이 다음과 같이 정리됩니다.

(3) 식 (1)의 양변을 y에 대해 적분합니다.

각각의 항을 살펴보겠습니다.

좌변의 첫째항은 아직은 손댈 수 없으니 일단 그대로 놔둡니다.

두 번째 항은 다음과 같이 적분됩니다.

U∞, V∞은 각각 경계층 외부에서의 x, y방향 속도입니다.

벽면에서(y = 0) 유체가 정지해있기 때문에 U = 0 이므로 uv(0) = 0입니다.

우변의 첫째항도 마찬가지로 놔두고 두 번째 항은 보겠습니다.

유체의 작용하는 전단응력의 정의에 의해 두 번째 항이 정리됩니다.

경계층에서 유체가 본래 유동속도를 회복하므로 경계층에서 전단응력은 0이고 벽면에서 전단응력을 wall shear stress라 하므로

다음과 같이 식이 정리됩니다.

(4) 연속방정식의 양변을 y에 대해 적분함으로 V∞을 소거합니다.

좌변의 두 번째 항이 다음과 같이 정리됩니다.

따라서 V∞은 다음과 같습니다.

또한 아래와 같은 관계식이 성립하므로(곱의 미분법)

식 (3)은 두 개의 적분식으로 분해됩니다.

여기서 U∞(free stream velocity)가 y좌표와 관계가 없기 때문에 적분기호 넣어 정리해주었습니다.

따라서 U∞V∞ 항은 다음과 같이 정리됩니다.

이것을 식 (2)에 대입합니다.

(5) 식 (2)의 양변을 정리합니다.

네 개의 적분식을 한 쪽으로 몰겠습니다.

(6) 우변에 위치한 네 개의 적분식을 묶어 정리합니다.

먼저, I1을 보면 편미분 기호로 묶을 수 있습니다.

편미분되는 함수를 다음과 같이 표현한다면

Leibniz integral rule에 의해 편미분 기호가 적분기호 밖으로 빠져나올 수 있습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Leibniz integral rule - Wikipedia

From Wikipedia, the free encyclopedia Differentiation under the integral sign formula This article is about the integral rule. For the convergence test for alternating series, see Alternating series test. In calculus, the Leibniz integral rule for differen

en.wikipedia.org

이때 U∞(free stream velocity)는 y와 무관하므로 적분기호 밖으로 빠져나올 수 있습니다.

이렇게 정리하고 나니까 운동량 두께가 보입니다.

따라서 I1는 아래와 같이 간단하게 정리됩니다.

I2 또한 마찬가지로 피적분함수를 적절히 손보아 정리할 수 있습니다.

앞서 I1에서 운동량 두께를 유도했듯이 배제 두께를 대입할 수 있도록 피적분함수를 정리합니다.

이것을 대입해 정리합니다.

여기까지의 과정을 종합하면 다음과 같이 운동량 적분방정식이 완성됩니다.

운동량 적분방정식을 통해 경계층과 항력을 구하는 활용 과정은 다음 게시글에서 다뤄보겠습니다.

[열전달] Fin Analysis, General Equation

섭교수 — Thu, 5 Oct 2023 11:09:23 +0900

Fin Analysis

고체 표면에서는 주변 대기와 열교환이 일어나는데 이것을 대류(convection)라 합니다.

뉴턴의 냉각법칙에서 기인한 대류 열전달 관계식은 다음과 같습니다.(cooling, Ts > T∞ )

대류 열전달 관계식을 구성하는 인자로는 h(열전달 계수; heat transfer coefficient), A(표면의 면적), Ts(표면 온도), T∞(대기 온도, 보통 상수로 가정)가 있습니다. 좌변의 q는 heat rate [W] 입니다.

어떤 물체에서 열이 많이 발생되어 빠르게 식혀야 하는 상황을 생각해보면 이 heat rate가 높을수록 빠르게 열을 바깥으로 내보낼 수 있으니 열전달 계수 h를 높이거나 전열면적 A를 높이거나 표면과 대기의 온도차를 높이는 세 가지 방법을 생각해볼 수 있습니다.

fin analysis란 이러한 heat rate를 높이기 위해 대기와 맞닿는 면적(전열면적; 열교환이 일어나는 면적을 의미함) A를 높이기 위한 연구입니다. 확장된 surface를 부착하는 방법인데 이 extended surface를 fin이라 부릅니다.

Fundamentals of heat and mass transfer by Frank P. Incropera

이러한 fin의 예시로는 회로에서 발생되는 열을 빠르게 방출하기 위해 열전도가 우수한 금속(high k)으로 구성된 기판이 있습니다.

공용 화장실에 위치한 방열기도 이러한 fin analysis의 적용입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=BoIHrjZBFfU

General Equation for Fin Analysis

열전달 문제에서 알아내야 하는 것은 온도 분포(Temperature Distribution)와 그로 인한 heat rate(또는 heat flux)입니다.

fin에서 temperature distribution을 구하기 위한 미분방정식을 유도해봅시다.

fin에서의 열전달을 steady-state 라 가정하고 energy balance equation을 세우면 다음과 같습니다.

Fundamentals of heat and mass transfer by Frank P. Incropera

위 그림에서 Ac는 단면적(cross-sectional area), As는 표면적(surface area; 측면 면적) 입니다.

단면 방향으로는(단면에 수직한 방향) 전도(conduction)가 일어나고 측면으로는 대기와 대류(convection)가 일어난다고 생각합시다. (복사 무시)

그럼 들어오는 열과 나가는 열이 같아야 하니 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

여기서 qx는 x방향 전도이므로 푸리에 법칙(Fourier's law)을 적용해 표현할 수 있습니다.

q_x+dx는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

q_x+dx 에 마찬가지로 푸리에 법칙을 적용합니다. 여기서 k가 상수라는 가정이 사용되어 미분기호 밖으로 빠져나왔습니다.

미소 대류 열전달(dq_conv) 항은 다음과 같이 표현됩니다.

h,T는 property이고 "미소" d를 취했을 때 변하는 것은 As 뿐이므로 우변에 dAs가 된 것입니다.

위와 같이 정리한 세 항을 처음 에너지 관계식에 넣어 정리합니다.

좌변과 우변에 같은 항을 소거하고

양변을 dx로 나누어 표현하면 다음과 같은 general equation을 얻습니다.

> 사용된 가정 정리

1. neglect radiation

2. 1-dimensional anlysis

3. steady-state

4. constant k

[유체역학] 항력계수(Drag Coefficient)

섭교수 — Wed, 9 Aug 2023 21:57:06 +0900

#유체역학

0. Introduction

물체가 유체 내부에서 움직일 때, 또는 물체 주위를 유체가 지나갈 때 물체의 운동방향과 반대로 작용하는 항력(Drag)이 발생합니다.

항력은 단순히 물체를 반대 방향으로 미는 것으로 인해 발생하기도 하지만 표면과 유체 입자 사이의 마찰로 인해 항력이 발생합니다.

운송수단의 경우 항력이 연료를 더 많이 소비하게 만드는 주된 이유가 되기 때문에 형상을 조정하거나 표면처리를 하는 등 항력을 줄이기 위한 다양한 연구가 진행되고 있습니다.

1. Drag Coefficient

항력계수(Drag Coefficient)는 다음과 같이 정의됩니다.

우변의 분자에 위치한 D는 Drag, 분모에 위치한 U는 유체의 속력, A는 유동방향으로 투영한 물체의 단면적입니다.

이 항력계수는 물체의 형상과 레이놀즈 수를 비롯한 여러 무차원 수, 표면 거칠기 등의 함수로 나타낼 수 있습니다.

보통 실험 및 시뮬레이션을 통해 측정되며 Exact한 관계식으로 표현하는 것은 불가능에 가깝습니다.

같은 질량과 부피를 가진 두 물체도 형상과 표면 거칠기가 다르면 항력계수도 달라집니다.

Fundamentals of Fluid Mechanics(2009), Munson B.R.

위와 같은 타원형 형상에 대한 항력계수를 실험을 통해 얻은 데이터입니다.

이는 형상과 레이놀즈 수를 고정하고 항력계수를 오직 특성길이(l/D)만의 함수로 가정한 결과입니다.

다양한 형상에 대한 레이놀즈 수 기반으로 항력계수를 측정할 수도 있습니다.

Fundamentals of Fluid Mechanics(2009), Munson B.R.

또한 항력계수를 알고 있으면 특정 속도로 유체가 흐를 때 물체에 작용하는 항력을 계산할 수 있습니다.

[수치해석] 가우스-자이델 방법, 야코비 반복법(Gauss-Seidel Method, Jacobi Iteration)

섭교수 — Sun, 6 Aug 2023 06:00:09 +0900

#수치해석

반복법(Iterative Methods)은 연립방정식을 풀기 위한 방법의 일종으로 행렬연산이나 가우스 소거법과는 다른 방식으로 해를 구합니다.

이 게시글은 두 가지 반복법 가우스-자이델 방법(Gauss-Seidel Method)과 야코비 반복법(Jacobi Iteration)을 소개합니다.

1. Gauss-Seidel Method

아래와 같이 행렬로 표현된 연립방정식이 있습니다.

각 행이 의미하는 바는 다음과 같습니다.

위 식에서 각각 x1, x2, x3에 대해정리하면 다음과 같습니다.

가우스-자이델 방법은 위 식들의 우변에 각각 "직전 단계에서 업데이트된 x1, x2, x3"를 대입하는 것입니다.

(예제 1) 가우스-자이델 방법을 사용하여 연립방정식의 해를 구하여라

먼저, 각 행으로부터 x1, x2, x3를 각각 다른 두 미지수로 표현합니다.

초깃값을 가정해야 하는데 여기서는 (0,0,0)으로 하겠습니다.

이것을 첫 번째 식에 대입합니다.

이후 두 번째 식에 대입할 건데, 이전 단계에서 업데이트된 x1을 사용합니다.

마찬가지로 세 번째 식에 대입할 때에도 이전 단계에서 업데이트된 x2를 사용합니다.(x1은 전전단계에서 업데이트 되었음)

이 세 번의 대입을 한 사이클이라고 합시다.

이것을 한 번 더 반복하면 다음과 같습니다.

이런 식으로 대입하는 것을 일정 오차 이하로 수렴할 때까지 반복하여 수치해를 구하는 방법을 가우스-자이델 방법이라고 합니다.

2. Jacobi Iteration

야코비 반복법도 유사한 방법을 사용하나, 업데이트를 한 사이클이 끝난 이후에 한 번에 한다는 차이점이 있습니다.

(예제 2) 야코비 반복법을 사용하여 연립방정식의 해를 구하여라

가우스-자이델 방법에서 했던 것처럼 x1, x2, x3에 대해 각 행을 정리합니다.

다음으로는 초깃값을 대입합니다. 여기서는 (0,0,0)을 사용해보겠습니다.

한 번 반복한 후의 결과는 (2.7, 10.25, -4.3)입니다.

이것을 다시 한꺼번에 대입합니다.

다시 한꺼번에 대입합니다.

이처럼 한꺼번에 업데이트하며 연산을 반복해 수렴하는 해를 구하는 것이 야코비 반복법입니다.

3. Convergence and Row Interchange

이러한 반복법은 행렬의 크기가 클수록 가우스 소거법보다 더 좋은 효율을 발휘합니다.

하지만 항상 반복법을 통한 해가 수렴하는 것은 아닙니다.

"Diagonal Dominance"라는 조건을 만족해야 반복법이 수렴합니다.

즉 대각성분의 절댓값이 같은 행의 다른 성분들의 절댓값의 합보다 커야 수렴성이 보장된다는 것입니다.

앞선 예제들은 모두 이 Diagonal Dominance를 만족하는 경우였으며

혹 만족하지 않는다면 행의 위치를 바꾸는 Row Interchange 연산을 통해 만족하도록 바꾼 후 반복법을 진행하면 됩니다.

* 위 관계식에서 등호인 경우에는 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있습니다.

위와 같은 경우에는 다음과 같이 행연산을 수행한 후 반복법을 진행합니다.

아래는 가우스-자이델 방법(a) 과 야코비 반복법(b)의 메커니즘을 간단히 정리한 그림입니다.

[유체역학] 수력도약(Hydraulic Jump)

섭교수 — Sat, 5 Aug 2023 06:00:37 +0900

#유체역학

0. Introduction

수력도약 현상(Hydraulic Jump)은 빠른 속도로 흐르는 유체가 갑자기 솟아오르는 듯한 현상으로, 수도꼭지에서 물을 세게 틀면 물줄기가 거세지며 두꺼워지는 것이 바로 이 수력도약 현상의 일종입니다.

다른 대표적인 예로는 계곡물이 어느지점에서 두꺼워지는 현상입니다

수력도약 현상에 대한 실험 영상입니다. 1분 남짓한 짧은 영상이지만 좋은 예시이니 꼭 시청해보세요

https://youtu.be/GVMkktBeqms?t=17

수력도약 현상이 정확히 "왜" 일어나는지에 대한 원인은 불분명합니다. 어떤 임계속도를 넘어선 빠른 유동에서 작은 턱(언덕같은, 방지턱 같이 생각)을 만날 때 주로 발생합니다. 하지만 유동의 폭이 늘어났기 때문에 유속은 감소해야만 하고 수력도약 현상이 일어나는 초기 지점에서 소용돌이(vortices)가 발생하며 많은 에너지 손실이 발생한다는 문제점도 있습니다.

이 게시글에서는 수력도약 관계식을 유도하고 예제를 풀어보겠습니다.

1. Hydraulic Jump

아래 관계식은 수력도약 전의 유동 깊이(y1)와 이후의 유동 깊이(y2)의 관계식을 나타낸 식입니다.(Fr : Froud number)

수력도약을 위해서는 유체가 얼마만큼의 속력을 가져야 하며 수력도약 현상 이후 유동 깊이(flow depth)은 어떻게 변화하는지 수학적으로 유도해봅시다.

아래와 같이 검사체적을 설정하고 해석적인 해를 구하기 이전에 다음과 같은 가정이 요구됩니다.

1. 정상상태(Steady State) 유동이다

2. (1)지점과 (2)지점을 지나는 속도는 V1, V2로 일정하다

3. 벽면에 작용하는 전단응력(wall shear stress)을 비롯한 모든 에너지 손실을 무시한다

4. 유동시 가로폭(width)이 일정하다

세 가지 방정식이 사용됩니다.

(1) 연속 방정식(Continuity Equation)

(2) x방향 검사체적 운동량 방정식(Momentum Equation)

(3) 에너지 방정식(Energy Equation) : 이는 베르누이 방정식과 유사합니다.

(1) 에너지 방정식

정상상태 유동이기 때문에 (1)지점에서의 유량와 (2)지점에서의 유량이 같습니다.

가로폭을 b라고 한다면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

(2) x방향 운동량 방정식

검사체적의 표면에 발생하는 힘은 (1)지점에 발생하는 F1과 (2)지점에 발생하는 F2가 있습니다.

이 두 힘은 모두 정수력에 해당하며 다음과 같이 기술됩니다.

정수력 관련 개념은 아래 게시물 참조 바랍니다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222339121532

[유체역학] 정수력 예제 : 평면

#유체역학 ※미완성된 글입니다 정수력, 그중에서도 평면에 작용하는 정수력 예제를 풀어봅시다. 예제 풀이...

blog.naver.com

이것을 대입합니다.

비중량의 정의와 앞서 구한 연속방정식을 대입합니다.

(3) 에너지 방정식

위와 같은 에너지 방정식을 적용할 건데 지금 살펴보고 있는 개수로 유동 문제(Open Channel Flow)의 경우

다음과 같이 에너지 방정식이 정리됩니다.

S0는 개수로의 기울기를, hL은 에너지 손실수두(head loss)를 의미합니다.

이 문제에서는 기울기가 0이고 에너지 손실을 무시한다고 하였으니 S0 = hL = 0입니다.

이제 (1), (2), (3) 세 개의 관계식을 연립합니다.

먼저 운동량 방정식으로부터 얻은 (2)에 연속방정식(1)을 적용합니다.

이때 좌변이 다음과 같이 인수분해가 됩니다.

이때 프루드 수(Froud Number; Fr)의 정의와 유사한 형태가 우변에 있습니다.

이것을 (4) 식에 대입합니다.

양변을 y1^2/y2 로 나누어 정리하면 다음과 같은 이차식을 얻습니다.

마지막으로 y2/y1 에 대한 이차방정식으로 보고 근의 공식을 사용해 해를 구하면 다음과 같습니다.

수력도약이 일어나기 위해서는 우변이 1보다 커야겠죠? 그래야 수력도약 이후의 유동깊이(y2)가 y1보다 커질 테니까요

이것이 의미하는 것은 수력도약이 일어나기 위해서는 프루드 수(Fr)가 1보다는 커야한다는 것을 의미합니다.

여기서 프루드 수가 1보다 크다고 무조건 수력도약이 일어나는 것은 아닙니다!

Froud number에 따른 수력도약 현상은 다음과 같습니다.

2. Example

(예제) 상류의 유동 깊이가 0.3m, 하류의 유동 깊이가 1.2m 일 때, 상류에서의 유속을 구하여라

photo by BRINGHAM YOUNG UNIVERSITY

수력도약 관계식을 사용합니다.

구해야 하는 것은 상류(y1 = 0.3m인 지점)에서의 유속 V1입니다.

이것은 위 관계식에서 우변에 위치한 Fr1과 관계가 있습니다.

먼저 y2/y1 = 1.2/0.3 = 4 이므로 이것을 대입합니다.

양변을 정리하여 프루드 수를 구할 수 있습니다.

프루드 수의 정의를 사용해 유속을 구합니다.

[미분적분학] 삼각함수 어려운 적분(Trigonometric Integrals), 삼각 적분

섭교수 — Thu, 3 Aug 2023 22:58:12 +0900

#미분적분학

이 글에서 다루는 삼각함수 적분은 다음과 같습니다.

삼각함수의 거듭제곱과 곱해져있는 함수들의 적분을 다룹니다.

1. (sin x)^n, (cos x)^n

(1) n이 짝수인 경우

: 반각 공식을 사용해서 차수를 계속해서 내립니다.

예시로 (sin x)^4 를 봅시다

(sin x)^6도 마찬가지로 풀되, cos x 의 홀수 승의 적분에 대해서는 이 다음에 나오는 내용을 참고합시다.

(2) n이 홀수인 경우

: 하나만 남기고 나머지를 모두 바꾼 후(sin은 cos으로, cos은 sin으로) 치환적분을 사용합니다.

아래 삼각함수 성질을 이용합니다.

(cos x)^5을 예시로 보겠습니다.

2. (sin x)^m (cos x)^n

(1) 차수가 둘다 짝수인 경우

: 배각공식과 반각공식을 이용해 차수를 내립니다

예시로 (sin^4 x)(cos^2 x) 를 보겠습니다.

(2) 하나는 홀수, 하나는 짝수일 경우

: 기본적으로 홀수 차수인 것에서 하나만 남기고(치환적분을 위해) 나머지 부분은 때에 따라 배각, 반각을 사용하기도 하고 단순히 하나의 삼각함수로 바꾸어 치환적분을 수행할 수도 있습니다.

예시로 (sin^4 x)(cos^7 x)를 보겠습니다

(3) 둘 모두 홀수인 경우

: 먼저 낮은 차수로 묶고 배각 공식과 반각 공식을 사용해 차수를 내립니다.

예시로 (sin^3 x)(cos^5 x)를 보겠습니다.

3. (sec x)^n, (tan x)^n, (sec x)^m (tan x)^n

아래 삼각함수 성질을 사용해 sec x와 tan x 를 변환합니다.

또한 이 두 삼각함수를 적분하기 위해서는 sec x의 적분을 알 필요가 있습니다.

이것은 분모와 분자에 (sec x + tan x)를 곱하는 트릭입니다.

이후 분모를 치환하여 적분을 계산할 수 있습니다.

(1) sec x의 차수가 짝수인 경우

: (sec x)^2을 따로 뗴어놓고 나머지는 모두 tan x 로 바꿔 치환적분을 수행합니다.

예시로 (sec x)^4을 보겠습니다.

또다른 예시로 (sec x)^6 (tan x)^4 을 보겠습니다.

(2) (sec x)^n, 차수가 홀수인 경우

: 피적분함수가 sec x로만 이루어져있다면 부분적분과 같은 특수한 방법을 사용해야 합니다.

부분적분을 적용하고

우변을 정리합시다.

우변에 있는 (sec^3 x)의 적분을 좌변으로 넘기고 sec x 의 적분 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

(3) (tan x)^n

: 차수가 짝수, 홀수 관계없이 (sec x)^2 를 떼어낸 후 tan x로 치환적분을 수행합니다.

예시로 (tan^7 x)을 보겠습니다.

먼저 tan^2 x를 떼어내 sec^2 x로 변환합니다.

tan^5 x의 적분은 같은 방법으로 정리할 수 있습니다.

tan^3 x도 마찬가지입니다.

이것을 tan^5 x의 적분에 대입하여

tan^7 x을 얻을 수 있습니다.

(4) (sec x)^m (tan x)^n에서 tan x의 차수 n이 홀수인 경우

: (sec x tan x)을 떼어낸 후 sec x로 치환적분을 수행합니다.

예시로 (sec^4 x)(tan^3 x)을 보겠습니다.

4. (sin mx)(cos nx), (sin mx)(sin nx), (cos mx)(cos nx)

다른 주기를 가지는 sin과 cos이 하나씩 곱해져있는 경우입니다.

이런 경우 삼각함수의 덧셈정리를 사용해 분리하는 것으로 적분을 수행합니다.

(1) (sin mx)(cos nx) 형태

: sin 덧셈정리를 사용해 분리할 수 있습니다.

두 식을 더합니다.

이것이 의미하는 것은 다른 주기를 가지는 두 삼각함수의 곱을 합 또는 차 형태로 분리할 수 있다는 것입니다.

예시로 (sin 7x)(cos 2x) 를 보겠습니다.

공식을 바로 사용해도 되지만 원리를 적용해 풀어보겠습니다.

두 식을 더하거나 빼서 우리가 원하는 sin7x cos2x만 남길 수 있습니다. 여기서는 더해줘야겠지요

이로써 곱의 형태였던 피적분함수가 분리되고

적분을 수행하면 아래와 같은 결과를 얻습니다.

(2) (sin mx)(sin nx) 형태

: cos 덧셈정리를 사용해 분리할 수 있습니다.

sin sin이 등장하는 덧셈정리는 cos 덧셈정리입니다.

여기서 sin만 남기려면 두 식을 빼주면 되겠죠

예시로 (sin 7x)(sin 2x) 를 보겠습니다.

앞서 얻은 결과를 바탕으로 삼각함수를 분리하고 적분합니다.

(3) (cos mx)(cos nx) 형태

: cos 덧셈정리를 사용해 분리할 수 있습니다.

마찬가지로 cos 덧셈정리를 사용합니다.

위 식에서 우변에 cos a cos b만을 남기기 위해서는 두 식을 더해주면 되겠죠

예시로 (cos 3x)(cos 4x) 를 보겠습니다.

앞서 얻은 결과를 바탕으로 삼각함수를 분리하고 적분합니다.

[수치해석] 다항회귀 예제(Polynomial Regression), 매트랩 코드

섭교수 — Sat, 29 Jul 2023 08:00:38 +0900

0. Introduction

데이터의 분포에 따라 회귀모델을 직선이 아니라 다항함수로 설정하는 것이 더 유용할 때가 있습니다.

지난 게시글에서는 exponential, power 등 일반적인 비선형 회귀 모델에 대해 선형화를 진행하고 계수를 구하는 예제를 소개했었는데

오늘은 비선형 회귀 모델 중 다항함수 모델에 대해 소개하겠습니다.

1. Polynomial Regression

> 회귀곡선을 이차함수라 가정

회귀곡선을 이차함수라 가정한 경우 a0, a1, a2 총 세 개의 계수를 결정해야 합니다.

아래 제곱합을 가지고 계수를 결정합니다.

세 개의 변수 a0, a1, a2에 대해 편미분을 수행하고, 이것이 각각 0이라는 방정식을 세우고 연립하여 각각의 계수들을 구할 수 있습니다.

이를 정리하면 아래와 같은 연립방정식이 유도되며 이는 행렬 연산을 통해 간단히 풀 수 있습니다.

> 회귀곡선을 m차함수라 가정

회귀곡선을 m차함수라 가정한경우 a0, a1, . . . , am 총 (m+1) 개의 계수를 결정해야 합니다.

2. Example

(예제) 주어진 데이터를 사용해 이차 회귀 곡선을 결정하여라

앞서 살펴본 연립방정식을 풀기 위해서 필요한 부분합들을 계산해주겠습니다.

매트랩을 사용해 필요한 상수들을 미리 구해두겠습니다.

행렬을 수립하고

선형방정식의 해를 구합니다. 이 해가 곧 우리가 구하고자 하는 계수(a0, a1, a2)입니다.

따라서 구하고자 하는 이차 회귀 곡선은 다음과 같습니다.

주어진 데이터와 회귀 곡선은 아래 그림과 같습니다.

아래 명령어로 데이터 포인트와 회귀곡선을 함께 그릴 수 있습니다.

[수치해석] 비선형 회귀(Nonlinear Regression) 예제, 매트랩 코드

섭교수 — Thu, 27 Jul 2023 21:19:00 +0900

0. Introduction

비선형 회귀에 대한 예제를 풀어보기 이전에 간단히 선형 회귀에 대해 설명하겠습니다.

선형 회귀(Linear Regression)이란 주어진 (x,y) 데이터에 대해 에러의 제곱합을 최소화하는 직선을 찾는 것입니다.

위와 같은 직선을 구성하는 요소는 기울기 a1과 y절편에 해당하는 a0 두 가지입니다.

에러의 제곱합은 아래와 같이 표현되며 앞서 말했듯 이것이 최소가 되도록 하는 직선, 즉 a1과 a0를 찾으면 됩니다.

어떠한 변수에 대해 최소가 되는 지점은 "미분"을 통해 알 수 있는데 여기서 변수가 a1, a0 두 가지이므로

각각의 변수에 대해 편미분한 것이 모두 0이 된다는 관계식을 통해 a1와 a0를 결정할 수 있습니다.

이것을 정리하면 아래와 같은 식을 얻습니다.

이것이 선형회귀입니다.

비선형회귀는 직선이 아닌 다른 곡선으로 x와 y의 관계를 가정하고 상수들을 찾는 것입니다.

1. Nonlinear Regression

비선형 회귀 곡선으로는 이차함수, 삼차함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 여러가지 모델이 가능합니다.

직선이 아닌 모든 곡선이 비선형이기 때문에 모든 비선형 회귀모델을 정의하는 것은 의미가 없고 각각의 데이터 형태에 맞는 회귀모델을 사용하는 것이 중요합니다.

비선형 회귀의 과정은 다음과 같습니다.

1) 적절한 회귀모델을 고르고 선형회귀와 같은 형태로 변환한다.(로그, 역수 등 여러 방법으로)

2) 주어진 데이터를 같은 방법으로 변환하여 변환된 선형회귀식의 계수를 결정한다.

3) 변환된 선형회귀식의 계수로부터 기존 비선형 회귀모델의 계수를 결정한다.(역변환)

선형회귀와 마찬가지로 수행하게 되는데 차이점은 변환과정이 있다는 것입니다.

주의할 것은 데이터도 변환해주어야 한다는 것과 마지막 계수를 역변환으로 구한다는 것입니다.

여기서는 exponential model, power model에 더해 일반적인 nonlinear model까지 세 가지 예제를 소개하겠습니다.

> exponential model

양변에 로그를 취하여 선형화합니다.

> power model

양변에 로그를 취하여 선형화합니다.

exponential에서는 자연로그를, power에서는 상용로그를 취하였는데 일반적으로 이렇게 회귀를 한다는 것이지 계수를 결정하는데 큰 의미는 없습니다.

2. Examples

(예제 1) 다음과 같은 데이터가 주어져있을 때 박테리아의 밀도 c와 시간 t의 관계를 나타내는 회귀곡선을 결정해라

이때 t와 c는 exponential model을 따른다고 가정한다.

exponential model은 다음과 같습니다. 우리의 목표는 α1과 β1을 구하는 것입니다.

먼저 양변에 로그를 취하여 선형화합니다.

이 변환과정은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

이 변환과정에 맞추어 데이터를 변환합니다.

이 변환된 데이터를 가지고 X,Y에 대한 선형회귀를 수행하여 A0, A1를 구한 후 α1과 β1을 구하면 됩니다.

앞선 선형회귀 공식을 사용하기 위해서는

Σxy, Σx, Σy 등여러 부분합 정보가 필요하기 때문에 이것을 계산해줍니다.

아래 변환된 선형 회귀직선의 A0, A1를 구하는 겁니다.

A0 공식의 짝대기 붙은 것들은 각각의 평균을 의미합니다(y bar, x bar라 읽습니다)

우리가 궁극적으로 구하고자 하는 것은 α1과 β1 이고, 이것은 처음 정의한 변환 관계식으로부터 얻을 수 있습니다.

따라서 최종 회귀곡선은 다음과 같습니다.

주어진 데이터와 회귀곡선을 표현하면 다음과 같습니다.

(예제 2) 다음과 같은 (x,y) 데이터가 주어졌을때 power model을 사용하여 회귀곡선을 결정하여라.

이때 선형화를 위해 상용로그를 사용하여라.

power model은 다음과 같습니다.

상용로그를 취해 선형화합니다.

새로 정의된 변수간의 관계는 다음과 같습니다.

앞선 예제와 마찬가지로 데이터도 선형화해주는데 이 예제부터는 매트랩을 사용하겠습니다.

먼저 데이터를 정의하고(x,y) 상용로그를 취해 변환해줍니다.(X,Y)

여기서 log10 함수는 상용로그를 반환하는 함수입니다.

다음으로는 선형회귀를 수행해주는 fitlm 함수를 사용합니다.

이것저것 반환해주는데 추정된 계수의 Estimate 열에서 (Intercept)가 A0, x1가 A1에 해당합니다.

마지막으로 구하고자하는 계수들로 역변환해줍니다.

따라서 구하고자 하는 회귀곡선은 다음과 같습니다.

주어진 데이터와 대략적인 회귀곡선을 함께 나타내면 아래 그림과 같습니다.

(예제 3) 아래 표는 박테리아 성장율(k)와 산소 농도(c)에 관한 데이터이다.

이때 주어진 관계식을 이용하여 회귀곡선을 결정하여라.

주어진 관계식의 양변에 역수를 취해봅시다.

변수(c,k)가 분리되었고 이것을 직선 형태로 간주할 수 있으니 선형화된 것으로 봐도 무방하겠습니다.

이때 각각의 변수의 변환 관계식은 다음과 같습니다.

마찬가지로 변수들의 데이터를 입력하고(c,k)

입력한 데이터를 변환합니다(X,Y)

그 다음 fitlm 함수를 사용해 A0, A1를 얻습니다.

이렇게 얻은 A0, A1에 역변환 과정을 수행해 a,b를 얻습니다.

따라서 회귀곡선은 다음과 같습니다.

데이터와 회귀곡선을 함께 나타내면 아래 그림과 같습니다.

[기계진동] 다자유도계 비감쇄 진동 : Multi Degree of Freedom Systems

섭교수 — Wed, 19 Jul 2023 15:02:42 +0900

#기계진동

orthogonality와 eigen analysis에 관한 자세한 내용은 생략하고 어떤 식으로 다자유도계 비감쇄 진동 문제를 풀어나가는지 예제를 중심으로 알아봅시다.

Multi Degrre of Freedom System을 줄여 M-DOF 문제 라고도 하는데 M-DOF 문제에서 중요한 것은 modal matrix를 구하는 것입니다. modal matrix를 구한 후 이를 이용해 초깃값을 변환하고 변환된 해를 다시 역변환 하여 최종적인 해를 구성하는 것이 기본적인 흐름입니다.

이 글에서는 감쇄(Damping)가 없는 비감쇄 문제(Undamped System)만을 다루며 강제진동(Forced Vibration) 예제를 풀어보겠습니다.

1. 다자유도계 문제를 푸는 순서

다자유도계 문제를 푸는 순서는 다음과 같습니다.

1. 운동방정식으로부터 얻은 시스템의 특성방정식 -> 고유진동수(natural frequency) 구하기 -> 대응되는 모드 벡터(mode vector) 구하기

2. modal matrix 구하기

3. 초깃값 변환 : x(0) , x'(0) -> q(0) , q'(0)

4. 변환된 초깃값으로 q(t) 구하기

5. q(t)로부터 최종적인 해 x(t) 구성

2. 용어 설명

본격적인 예제 풀이에 앞서, 기호들과 각각에 대응되는 용어를 설명하겠습니다.

1.다자유도계의 일반적인 운동방정식 표현

이런식으로 표현되는 연립 운동방정식을 위와 같이 행렬과 벡터로 한 번에 표현합니다.

예시로 아래와 같은 2자유도계 문제를 봅시다. 가운데 스프링 상수는 k2 = 2k라 하구요(n=2)

운동방정식은 다음과 같습니다

운동방정식을 세우는 것에 도움이 필요하다면 아래 게시물 참조

https://blog.naver.com/subprofessor/222906562044

[동역학] 전달함수(Transfer Function) 정의, 연립 운동방정식 예제

#동역학 #시스템해석 라플라스 변환은 아래 게시글 참조 https://blog.naver.com/subprofessor/22216574541...

blog.naver.com

대괄호 표시는 행렬, 위에 화살표가 붙어있으면 벡터입니다.

이렇게 행렬과 벡터를 사용해 표현할 수도 있습니다.

일반적으로 손으로 풀 수 있는 것은 운동방정식을 구성하는 행렬들이 symmetric, 즉 대각선 기준 대칭인 경우입니다.

만약 운동방정식을 구하고나서 봤는데 대칭이 아니라면(물론 그런 상황도 충분히 가능합니다) 계산 실수가 없었는지 확인해야 합니다.

다자유도계 문제는 이렇게 행렬 형태로 운동방정식을 정리하는 것부터 출발합니다.

2. 고유진동수

자유진동수라고도 불리는데 이 natural frequency는 질량-스프링으로 구성된 시스템의 고유한 특성입니다. 다시말해 특정한 질량과 스프링을 연결시켜놓으면 고유진동수가 정해진다는 것이죠

이 고유진동수는 해를 구성하는 중요한 요소입니다(삼각함수의 진동수가 됨)

위 행렬은 대각성분만 존재하고, i 행의 성분이 i 번째 고유진동수로 구성된 행렬입니다.

> 고유진동수 예시

3. 초깃값의 표현

초깃값은 다음과 같이 벡터 형태로 표현합니다.

예시로 3자유도계의 초깃값을 가져왔으며, 자유도 만큼 초깃값이 주어져야 운동방정식의 해를 구할 수 있습니다.

4. mode vector

고유진동수에 대응되는 벡터들로, 가능한 여러 진동의 형태를 의미합니다.

선형대수학의 고유벡터와 같은 방식으로 구합니다.

5. modal matrix [X]

mode vector들로 구성된 행렬입니다. 하지만 단순히 mode vector를 둔 게 아니라 특정 조건을 만족하도록 mode vector들의 크기를 조절하여 modal matrix를 구성해야 합니다.

이렇게 구성한 modal matrix는 다음 두 가지 특수한 성질을 갖습니다.

이것을 사용해 운동방정식을 정리하면 다음과 같습니다.

여기서 x(t) = [X]q(t)라는 변환을 사용합니다.

양변에 modal matrix의 transpose를 곱합니다(기존 행렬과 벡터의 왼쪽에)

우변을 Q(t)라고 정의한다면

아래와 같이 깔끔하게 변환된 연립 미분방정식을 얻습니다.

i번째 요소에 대한 미분방정식은 다음과 같습니다.

이 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.

우변에서 첫 번째, 두 번째 항은 초깃값에 의해 결정되는 homogeneous solution이고 세 번째 항은 외력에 의한 particular solution입니다. 일반적인 외력을 고려해 convolution이 사용되었지만 주기함수나 단순한 외력이라면 일반적인 특수해 구하는 방식처럼 해를 구성하면 됩니다.

이제 이 q(t)를 다시 역변환 하면 x(t)를 구할 수 있습니다.

이따 예제로 설명하겠지만 간단히 처음 정의한 q(t) 정의식으로부터 구합니다.

즉 modal matrix에 q(t)를 곱하는 것이 바로 역변환 과정이 됩니다.

3. 예제 : 강제진동(Forced vibration) 문제

(예제) Determine the amplitude of motion of the three masses in figure

with m = 1kg, k = 1000 N/m, F(t) = 5sin10t N

외력이 삼각함수로 주어졌을 때의 steady state response를 구하라는 문제입니다.

다자유도 문제를 푸는 순서를 다시 되짚어보겠습니다.

1. 운동방정식으로부터 얻은 시스템의 특성방정식 -> 고유진동수(natural frequency) 구하기 -> 대응되는 모드 벡터(mode vector) 구하기

2. modal matrix 구하기

3. 초깃값 변환 : x(0) , x'(0) -> q(0) , q'(0)

4. 변환된 초깃값으로 q(t) 구하기

5. q(t)로부터 최종적인 해 x(t) 구성

1. 시스템의 운동방정식은 다음과 같습니다.

위에서부터 질량 m1, m2, m3라 잡고 각각의 변위를 x1, x2, x3이라 잡은 겁니다.

특성방정식은 다음과 같습니다.

위 행렬식을 풀어서 얻는 w는 다음과 같습니다.

고유진동수를 구했으니 이제 각 고유진동수에 해당하는 모드벡터를 구해주면 됩니다.

각각의 고유진동수를 대입해도 되고 일반화시킨 다음 w를 대입해 구해도 됩니다.

가장 간단한 행부터 정리합니다.

x2에 대하여 정리해봅시다.

이것에 고유진동수를 넣으면 모드벡터들을 구할 수 있습니다.

모드벡터들의 위첨자를 "슈퍼"라 읽습니다.

X(1)을 "X 슈퍼 원", X(2)를 "X 슈퍼 투" 이렇게 말입니다.

2. modal matrix

앞서 얻은 모드벡터들로 modal matrix를 구성합니다.

이것이 아래 조건을 만족시키도록 X1, X2, X3 을 구합니다.

행렬계산을 거치면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

1이 되야 한다는 조건은 우변이 단위행렬이라는 것에서 왔습니다.

따라서 modal matrix는 다음과 같습니다.

이것을 쉽게 구할 수 있는 공식이 있습니다.

만약 mass matrix [m]이 대각성분만 존재한다면 다음과 같은 공식을 통해 mode vector들의 크기를 구하고 빠르게 modal matrix를 구할 수 있습니다.

※ 이것은 [m]이 대각행렬일 때만 적용가능합니다. 이중, 삼중 진자운동의 경우 mass matrix가 대각행렬이 아닙니다.

또한 기존 정의식에 대입해 modal matrix를 잘 구했는지 확인합니다.

3. 초깃값을 사용하는 것은 homogeneous solution에 해당하는 것이므로, 이 예제에서는 해당되지 않습니다.

4. 이제 고유진동수를 가지고 q(t)를 구해봅시다.

위 식은 general solution을의미하고 이 문제에서는 초깃값이 고려되지 않으므로(steady state response;particular solution) q(0)와 q'(0)이 모두 0이고 특수해만을 구해주면 됩니다. 위 식에는 일반적인 외력을 생각해서 합성곱(convolution)으로 표현되었지만 일반적인 특수해 구하는 방법을 사용해도 됩니다.

이 문제에서는 미정계수법을 사용하겠습니다.

가장 먼저 해야 할 일은 외력F(t)를 Q(t)로 바꾸는 일입니다.

F(t)는 왼쪽 아래에 있는 1kg 질량에 부착되어있습니다. 이것을 두 번째 질량 성분이라고 잡겠습니다.(이미 그렇게 두고 풀어온 것..)

앞서 구한 고유진동수를 사용합니다.

특수해를 구합니다.

이와 같은 방법을 사용해 q2, q3도 구합니다.

전체해를 작성합니다.

5. 이제 마지막으로 mordal matrix와 q(t)를 사용해 최종해 x(t)를 구합니다.

앞서 정의한 변환식을 그대로 사용합니다.

아래와 같이 표현할 수도 있습니다.

※ 질량체들의 순서를 바꿔서 계산하면 mordal matrix와 Q(t)등 문제 중간 과정은 다를 수 있으나 최종적인 결과는 같습니다.

[공업수학] 미분방정식의 멱급수 해법(Power Series Method)

섭교수 — Wed, 19 Jul 2023 14:59:10 +0900

#공업수학

0. Introduction

멱급수란 다항함수들의 합으로 구성된 급수를 뜻하며 앞서 테일러 급수를 통해 함수를 멱급수 형태로 나타내는 방법을 소개했었다.

https://blog.naver.com/subprofessor/222106300471

[미분적분학] 테일러 급수전개

#미분적분학 테일러 급수전개는 미분방정식을 공부하면서도 나오는 내용이고, 어떤 값을 근사하는 데도 사...

blog.naver.com

아래와 같은 형태의 급수를 멱급수라 한다.

가장 일반적인 형태이며 우리는 x0 = 0 즉, x = 0에서 전개한 멱급수를 사용할 것이다.

지수함수를 아래와 같이 표현할 수도 있고

유리함수를 표현할 수도 있다.

물론 수렴범위가 무한한 것은 아니다. 위 유리함수의 경우 열린구간 (-1, 1) 에서만 급수가 수렴한다.

이것을 응용하여 여러가지 함수를 급수 형태로 나타낼 수 있다.

멱급수로 표현된 함수를 미분할 수도 있다.(멱급수 미분)

미분방정식의 해를 이러한 멱급수로 가정한 다음 해를 구하는 것을 멱급수 해법(Power Series Method)이라 한다.

1. Power Series Method

아래와 같은 미분방정식을 보자

이 미분방정식의 해 y를 아래와 같이 가정한다면 y'는 각 항을 미분한 것의 합과 같다.

우리의 목표는 멱급수의 계수에 해당하는 수열 {an}을 구하는 것이다.

이것을 미분방정식에 대입하여 항별로 정리하면 다음과 같다.

미분방정식의 해는 적분상수가 포함된 함수로 얻어지는데, 1계의 경우 하나의 상수가, 2계의 경우 두 개의 상수가 나온다는 거승ㄹ 우리는 이미 알고 있다. 급수해에서도 마찬가지로 n계 미분방정식을 표현하기 위해 n개의 상수가 요구된다.

통상적으로 이 상수를 a0 또는 a1 처럼 초기에 등장하는 항을 사용한다.

쉽게 말해 위 문제는 1계 미분방정식이므로 a0를 미지의 상수로 갖는 함수를 일반해로 얻게 될 것이고

우리는 수열의 다른 항들을 a0로 표현하면 된다.

마지막 급수 표현은 가능한데 왜 지수함수로 정리되는지 한 번에 보이지 않을 수 있다.

인수분해를 잘 하기 위해서 곱셈공식을 먼저 연습하듯, 함수들을 급수로 전개하는 연습을 해보면 점점 보이기 시작할 것이다.

대표적인 급수전개는 아래와 같다.

2. Examples

(예제 1) 급수해 방법으로 미분방정식을 풀어라

우리는 앞서 한쪽으로 항을 몰아서 계수를 비교하는 방법을 사용했으므로 먼저 우변에 있는 2xy를 좌변으로 이항해 정리한다.

그리고 아래와 같이 해를 가정하고 미분방정식에 대입한다.

그 다음으로는 계수비교를 통해 수열 {an}을 표현한다.

먼저 알 수 있는 것은 홀수 번째 항이 모두 0이라는 것이다.

그다음으로는 이 미분방정식이 1계이므로 a0로 나머지 짝수 항들을 정리하여 규칙성을 찾는다.

따라서 짝수항들에 대한 표현은 아래와 같고, 이를 적용해 처음에 가정한 해를 정리한다.

따라서 주어진 미분방정식의 해는 다음과 같다.

(예제 2) 급수해 방법으로 미분방정식을 풀어라. 이때 5차항까지만 해를 근사하여라

마찬가지로 해를 급수 형태로 가정한다.

이것을 미분방정식에 대입하고 계수비교를 통해 각 계수들을 정한다.

이때 주어진 미분방정식이 2계이므로 일반해를 구성하는 상수는 a0, a1로 잡는다.

a0, a1로 각 항들을 표현하고

깔끔하게 정리하면 다음과 같다.

팩토리얼로 표현할 수도 있으며

별다른 규칙을 찾을 수 없는 경우에 해당하므로 이런 경우 해를 근사하여 표현한다.

또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

[재료과학] 재휘현상(Recalescence)

섭교수 — Fri, 30 Jun 2023 21:11:28 +0900

#재료과학

#재휘현상

금속을 액체 상태에서 고체 상태로 냉각하는 과정(Solidification)은 여러가지 요인들에 의해 조절됩니다.

냉각 속도와 온도 차 등 여러 요인들 중에서 접종 여부(고체 불순물이 잘 분포되어 있는가)는 가장 중요한 요인으로 취급됩니다.

순수한 물과 작은 고체 불순물을 포함한 물 두 가지 중 더 빨리 어는 것은 놀랍게도 후자입니다. 액체가 고체로 변하는 것은 작은 고체입자가 만들어지는 것부터 시작하는데 그것은 보통 고체 벽 또는 이미 존재하는 고체 불순물에서부터 자라기 때문이죠

재휘현상은 접종이 잘 이뤄지지 않은 상태에서 냉각시 발생하는 현상입니다. 냉각 과정 중 갑자기 열이 방출되며 액상(액체)의 온도가 상승하게 되는데 이 때의 방출되는 열을 "용융잠열"(latent heat of fusion)이라 합니다.

아래 그림은 접종이 충분히 이뤄지지 않은 순금속의 냉각곡선으로 그림의 C-D가 바로 재휘현상이 일어나는 구간입니다.

출처 : the science and engineering materials 7th ed.

만약 접종이 충분히 이뤄졌다면 아래와 같은 간단한 냉각곡선을 가지게 됩니다.

냉각시 충분한 접종이 이뤄지면

1. 과냉이 필요하지 않으며(응고점(어는점) 아래로 큰 온도차 조건 하에서 냉각하는 것)

2. 재휘현상이 관찰되지 않습니다.

재휘현상은 재료의 기계적 특성에 영향을 주며 급격한 온도 변화로 인한 부식, 산화를 야기할 수도 있습니다. 다시말해 냉각을 통해 얻은 금속의 기계적 특성을 예상하는 것이 어려워지고 심한 경우 크랙이 발생할 수도 있습니다.

[통계학] 가설 검정 : 유의확률(p-value)

섭교수 — Mon, 12 Jun 2023 23:06:53 +0900

#통계학

#가설검정

유의확률

유의확률은 유의수준과 관련이 있는 값이다.

유의확률의 정의는 "영가설을 기각할 수 있는 유의수준의 최솟값"이고, 유의수준은 α = 0.05 -> 신뢰수준 95%임을 의미

지금까지는 가설검정을 "검정통계량"이 기각역에 포함되는지로 확인했는데 p-value 또는 유의확률이라 불리는 통계량을 사용할 수도 있다.

유의확률은 단순히 "기각역의 확률"이라고 받아들일 수도 있다. 또는 검정통계량이 기각역에 속할 확률.

예를 들어 모분산이 알려진 우측 단측 검정에서 영가설 H0 하에서 검정통계량이 T0 = 1.5 였다면 유의수준 0.05에서 기각역은

C = {T0 > 1.645} 이다. (검정통계량은 이때 표준정규분포를 따름; T0~N(0,1))

유의확률(p값 ; p-value)는 P(T0 > 1.5)으로 계산한다.

이 유의확률(p)은 유의수준(α)와 비교하며 다음 두 문장은 같은 의미이다.

"검정통계량 T0 ∈ 기각역 C"

"유의확률 p < 유의수준 α"

(예제) 대학입시에서 정시모집 확대에 대한 찬성과 반대 의견을 100명의 사람에게 물어본 결과, 38명이 찬성하였다. 유의수준 α = 0.05 일 때 모비율이 0.3보다 크다고 할 수 있는지 검정하시오

모비율에 관한 검정이며 주어진 상황에서 영가설과 대립가설은 다음과 같이 세울 수 있다.

기각역은 다음과 같다.

모비율의 검정통계량은 다음과 같다.

검정통계량을 사용해 검정하면

검정통계량이 기각역에 속하므로 대립가설을 채택,

즉 유의수준 α = 0.05 일 때 모비율이 0.3보다 크다고 할 수 있다.

유의확률(p-value)를 사용해 검정하면

유의확률이 유의수준보다 작으므로 (영가설을 기각) 대립가설을 채택,

즉 유의수준 α = 0.05 일 때 모비율이 0.3보다 크다고 할 수 있다.

[수치해석] 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta Method), 룽게 쿠타 4차 예제

섭교수 — Thu, 8 Jun 2023 22:59:31 +0900

#수치해석

Runge-Kutta Method

룽게 쿠타 방법은 초깃값 문제, 즉 아래와 같은 미분방정식을 푸는 수치해석 기법이다.

아래와 같은 미분방정식을 룽게 쿠타 방법으로 풀 수 있다.

오일러 방법(Euler's method), 호인의 방법(Heun's method), 중간점 방법(Midpoint method) 등의 미분방정식을 푸는 여러 가지 기법은 대부분 이 룽게-쿠타 방법의 일종이다.

RK method는 선형 미분방정식이 아니라 비선형 미분방정식에도 적용할 수 있다는 매우 큰 장점이 있다.

다음과 같은 방법을 Runge-Kutta Method라고 한다.

여기서 h는 step size이고

φ(phi) 는 함숫값들로부터 계산되는 어떤 값이다.

원하는 만큼 k_n을 설정할 수 있으며 가장 간단히, 상수로 φ를 설정한다면 다음과 같이 해당 점에서의 접선의 기울기를 사용할 수도 있겠다.

방법 자체는 간단한데 이 φ를 어떻게 설정하느냐에 따라 정확도가 달라지는 것이다.

이때 a,k,p,q는 다음과 같은 의미를 가진다.

즉 현재 y값(y_i)을 reference로 여러 함숫값들을 종합해서 그 다음 y값(y_i+1)을 추정할 수 있다는 것이다.

복잡해보이지만 일반적으로 k4까지만을 사용한다.(4차 RK method)

룽게 쿠타 4차 방법은 다음과 같이 k1, k2, k3, k4를 사용한다.

아래 그림과 같이 현재 지점에서 4개의 함숫값을 가지고 다음 지점을 예측하는 것이 4차 룽게 쿠타 방법이다.

각각의 계수와 상수 p, q는 테일러 급수전개로부터 구할 수 있으며 뒤에서 2차 RK method의 계수들을 유도해볼 것이다.

통상 n이 늘어날 수록 정교해지며 오일러 방법은 1차 RK method에 속하고 호인의 방법, 중간점 방법은 모두 2차 RK method에 속한다.

실용성이 높은 4차 RK method는 손으로 풀기에는 계산량이 많아 느리지만 그만큼 상당히 작은 오차를 얻는 매우 매우 매우 강력한 방법이다.

위에서 테일러 급수전개를 언급했는데 Runge-Kutta method는 "테일러 급수의 정확도를 고차 미분항 계산없이도 끌어올릴 수 있다"는 의미를 가지고 있다. 테일러 급수의 정확도는 expansion된 중심으로부터 얼마나 떨어져있냐, 고차 미분항이 어디까지 포함되느냐에 따라 결정되는데 RK method는 그것을 여러 지점의 함숫값으로 대체하는 것과 같은 것이다.

Derivation of 2nd order RK method

복잡해보이는 룽게 쿠타 방법의 정의식을 이해하기 위해 2차 RK method를 유도해보자

2차 RK method는 φ을 다음과 같이 2번째 항까지만 가져간다는 것이다

따라서 2차 RK method는 다음과 같이 정리된다

앞선 정의에 의해 k1, k2는 다음과 같다

즉 a1, a2, k1, k2를 정해야 하는데 k1는 현재 지점의 함숫값으로 정해져있고

k2를 정하기 위해 p1, q11을 정해야 한다.

이 상수들은 테일러급수로부터 결정할 수 있다.

2차 테일러 급수 식은 다음과 같다.

이때 f의 도함수는 t에 대해 미분한 도함수이며 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 표현된다.

이때 dy/dt = f(t,y)이므로

여기서 k2를 이변수함수로 취급하고 우변에 대해 테일러 급수를 전개한다.

마지막 O(h^2)는 오차항이다.(error)

위 식의 양변에 a2h를 곱하자

처음 정의한 2차 RK method에 이것을 대입하고 정리한다.

k1 = f(t_i , y_i )를 적용하고 h에 대해 오름차순으로 정리한다.

이제 위 (2) 식과 (1) 식의 양변을 비교하면 아래와 같이 계수 a1, a2, p1, q11를 결정하는 세 조건을 얻을 수 있다.

2차 RK method의 일종인 호인의 방법은 a1 = a2 = 1/2 로 설정한 것이다.

오차항은 h의 세제곱의 함수이므로 간격이 좁아질 수록 그 오차가 매우 작아진다는 것을 예상할 수 있다.

Example

룽게 쿠타 4차 방법, 또는 4차 룽게 쿠타 방법은 다음과 같다.

(예제) 주어진 미분 방정식에 대해 y(1)을 구하여라. 이때 step size는 0.25로 한다.

step size가 0.25, 즉 h = 0.25라는 것은 문제에서 원하는 y(1)를 구하기 위해 y(0.25), y(0.5), y(0.75)를 거쳐야 한다는 뜻이다.

> 풀이

[유체역학] 파이프 유동 예제 : 에너지 법칙, 수두손실

섭교수 — Wed, 19 Apr 2023 23:06:14 +0900

#유체역학

파이프 유동 문제는 관의 형상(지름, 길이), 관의 재질(거칠기, 마찰), 압력 차이가 주된 관심사입니다.

파이프 유동은 internal flow의 대표적인 예이며 유체의 유동을 유발하는 주된 원인이 두 지점의 압력차이가 됩니다.

때문에 내가 A지점에서 B지점까지 유체를 수송하려 할 때 얼마만큼의 압력차이가 요구되는가?라는 것이 설계의 주된 목적이 되며 관의 형상은 유량에 변화를, 관의 재질과 형상은 유동 중 손실되는 에너지에 변화를 줍니다.

때문에 에너지 방정식을 수립하고 상황을 잘 파악해서 식을 잘 정리한다면 어려울 게 없습니다.

파이프 유동에서 가장 복잡한 축에 속하는 문제는 여러 개의 관이 연결된 유동과 난류유동에서 달시 마찰계수 f를 trial and error로 찾는 문제이지만 기본적인 흐름은 동일합니다.

1. Pipe Flow Equations

파이프 유동에서 주로 사용되는 관계식은 다음과 같습니다.

1. 레이놀즈 수의 정의

2. 에너지 방정식(V는 평균속도)

3. 수두손실

4. 연속방정식

유동이 steady flow라면 Q1 = Q2 이므로 위 관계식이 성립합니다.

5. 관의 단면이 원형이 아닐 경우

거칠기가 주어진다면 동일하게 무디 차트를 읽으면 됩니다.

2. Pipe Flow Examples

파이프 유동 문제는 통상적으로 다음과 같은 메커니즘으로 접근합니다.

1. 층류 / 난류 구분

2. 연속방정식과 에너지 방정식 수립

3. 손실 계산(moody chart)

오늘 풀어볼 문제 순서입니다.

1. 공기의 층류 유동

2. 물의 경사관 유동

3. 여러 개의 관 사이의 유동 결정

4. 사각 덕트의 난류 유동

(예제 1) 공기의 압력이 200 kPa(절대압력)이고 온도가 15도 일 때,

지름이 2.0 cm인 관을 통해 흐르는 최대 층류 유량을 계산하여라

주어진 조건과 목표를 정리합니다.

파이프의 형상이 제시되어있을 때 난류 유동을 유지하며 가질 수 있는 최대 유량을 구하라는 문제입니다.

구해야 하는 유량 Q는 다음과 같습니다.

책마다 다르지만 여기서는 레이놀즈 수가 2100일 때까지를 층류유동이라고 하겠습니다.

레이놀즈 수의 정의를 살펴보면, 모르는 것이 공기의 밀도, 점성계수, 속도입니다.

공기가 이상기체이므로 이상기체 방정식에서 밀도를 얻고 점성계수는 테이블에서 가져오겠습니다.

레이놀즈 수가 2100일 때 최대 속도를 가집니다.

이것을 유량에 대입해 계산하면 문제가 요구하는 최대 유량을 구할 수 있습니다.

(예제 2) 분사 탱크에 부착된 노즐에서 물이 흐르고 있다. 그림에서 보여지는 것처럼 노즐의 손실 계수가 0.75이고 호스의 마찰 계수가 0.11인 경우 유량을 구하여라

출처 : Munson's Fundamentals of Fluid Mechanics

탱크 내부와 대기와의 압력차이로 인해 유동이 발생하는 상황입니다.

이 압력차가 유체의 운동에너지로 변환되며 파이프와 노즐에서 발생하는 손실을 고려해야 하는 문제입니다.

이런 경우 reference를 가장 간단한 지점으로 잡는 게 좋습니다. 분사 탱크의 수면을 1 지점으로 잡으면 주어진 압력 정보와 수면에서 속도가 0이라는 것을 사용할 수 있습니다.

유량을 구해야 하고, 노즐에서의 손실계수를 적용해야 하니 2지점은 당연히 노즐 분사구가 되어야 합니다.

따라서 2지점에서의 압력은 0입니다. (보통 대기압을 0으로 하는 계기압력(gage pressure)을 사용하는데 절대압력을 사용해도 어차피 양변에 같은 수(대기압)가 더해지는 것이므로 같은 결과가 나옵니다.)

수두손실은 주손실과 부손실로 나뉘는데, 관에 의한 주손실(major loss)가loss)이 우변의 첫 번째 항이고 노즐에 의한 부손실(minor loss)이 우변의 두 번째 항입니다.

여기까지 이해한 정보와 상황을 종합하면 다음과 같이 에너지 방정식을 정리할 수 있습니다.

V는 관에서 유체의 평균속도, V2는 노즐에서 사출되는 유체의 평균속도입니다.

관을 지나는 유량과 사출되는 유량이 같습니다.

여기서 노즐의 직경 D2 = 7.5mm, 파이프의 직경 D1 = 15mm 이므로

V2 = 4V입니다.

이쯤에서 모르는 값들을 정리해봅시다.

구해야 하는 유량 Q = AV에서 V를 모르고

정리해 둔 에너지 방정식에서는 V를 제외한 모든 값이 주어져 있으니, 에너지 방정식으로부터 V를 구할 수 있겠군요

연속방정식에서 얻은 V2 = 4V를 대입하고

V제곱의 계수를 깔끔하게 정리하기 위해 양변에 2g를 곱하고

V에 대해 식을 정리하면 다음과 같습니다.

이것을 정리하면 유체의 속도와 유량은 다음과 같습니다.

여기서 V는 파이프 내부에서의 평균속도입니다.

이 문제는 층류인지, 난류인지 확인하는 과정이 없었습니다. 애초에 달지 마찰계수와 손실계수를 모두 주었기 때문에 레이놀즈 수가 필요하지 않았기 때문이기도 하고, 속도 V를 모르는 상황에서 레이놀즈 수를 구하기가 쉽지 않습니다.

만약 마찰계수를 주지 않고 표면거칠기를 주어 무디차트에서 직접 마찰계수를 구해야 했다면 난이도가 더 상승했을 것입니다.

(예제 3) 여러 개의 관 사이의 유동을 결정하는 문제

부손실(minor loss)을 무시할 때, 각 관의 유량을 결정하여라

출처 : Munson's Fundamentals of Fluid Mechanics

왼쪽부터 각 reservoir의 수면을 1,2,3 지점이라 하겠습니다.

문제에서 구해야 하는 것은 각 관의 유량이며, 각 관의 직경이 주어졌으므로 각 관에서의 유체 속도를 구하는 것이 목표가 됩니다.

여러 개의 관 사이의 유동을 결정하는 문제는 "어떤 방향으로 유동하는지"에 대한 가정부터 시작합니다.

먼저 1,2 지점에서 상대적으로 고도가 낮은 3 지점(Elevation = 0)으로 유체가 흐른다고 가정하겠습니다.

흐르는 유량이 보존되어야 한다는(연속방정식) 조건을 사용합니다.

이것에 관의 단면적을 적용하여 정리하면 속도 관계식을 하나 얻습니다.

다음으로는 주손실(Major loss)을 고려한 에너지 관계식을 사용합니다.

1 지점에서 3 지점, 2 지점에서 3 지점으로의 두 가지 관계식을 유도할 수 있습니다.

1 지점에서 3 지점으로 가는 유동은 두 개의 관을 지나니, 두 개의 주손실 항이 발생합니다.

또한 1 지점과 3 지점은 수면이니 P = 0이고 V = 0입니다.

여기서 혼동이 생길 수 있는데, V1, V2, V3는 각각 관을 지나는 속력입니다.

에너지 관계식에서는 편의상 동일한 V를 사용하였지만 그 지점에서의 속력임을 주의합니다.

이를 정리하면 다음과 같습니다.

마찬가지로 2 지점과 3 지점 사이의 유동에 에너지 관계식을 적용합니다.

세 번째 관계식을 얻습니다.

지금까지 얻은 관계식을 종합해 보면 다음과 같습니다.

그러나 이 연립방정식의 해는 존재하지 않습니다.

따라서 처음에 1,2 => 3로 흐른다는 가정이 틀렸으며, 다음으로 해볼 수 있는 "합리적인" 가정은 2 => 1,3으로 흐른다는 것입니다.

앞선 과정을 다시 수행합니다.

이것을 연립하여 각 관에서 유체의 속도를 구할 수 있습니다.

변수가 여러 개인 이차 연립방정식은 상수항이 없는 두 문자에 대한 이차식을 얻는 것으로 해를 구할 수 있습니다.

V1과 V2로 정리합니다.

이 이차방정식을 V1에 대하여 풀면 V1 = 1.002 V3이라는 관계를 얻습니다.

이것을 원래 가지고 있던 식에 대입해 모두 정리하면 ((4)식에 대입)

위와 같이 속도를 구할 수 있으며

이를 이용해 각 관에서의 유량 Q1, Q2, Q3을 구할 수 있습니다.

(예제 4) 표면의 거칠기가 ε = 0.015mm 인 직사각형 덕트에 공기가 0.068 m^3/s의 유량으로 유동중일 때 이 12m 덕트에서 발생하는 수두손실을 구하여라.

덕트의 사이즈는 0.15m x 0.30m이다.

그림과 같은 사각 덕트에서 공기가 유동 중이며 발생하는 수두손실은 표면의 거칠기로 인한 주손실(Major loss)만 고려합니다.

그러나 위 식은 포아실리 법칙을 통한 원형관의 수두손실입니다.

단면이 비원형인 경우 수력직경(hydraulic diameter)을 사용해 레이놀즈 수와 손실계수를 정의합니다.

A는 단면적, P(Perimeter)는 단면의 둘레입니다.

이제 마찰계수 f만 구하면 되는데 f가 주어져있지 않기 때문에 먼저 층류인지, 난류인지 확인해야 합니다.

층류인 경우 f = 64/Re 식을 사용하고 난류인 경우 무디 차트를 읽어야 합니다.

레이놀즈 수를 구합니다.

저는 간편하게 동점성계수로 바꿔서 한 번에 계산했습니다.

유량과 단면적이 주어졌으니 속도를 구하고

레이놀즈 수를 구합니다(동점성계수 1.4 x 10^-5 사용)

레이놀즈 수가 난류의 기준인 4000을 넘으니 공기의 유동이 난류 유동임을 알 수 있습니다.

따라서 무디 차트를 읽어 마찰계수를 구해야 합니다.(거칠기가 주어진 것에서 무디 차트를 예측할 수 있습니다)

레이놀즈 수를 알고 있으니 상대거칠기를 구하고 무디 차트를 읽습니다.

f가 대략 0.026 임을 알 수 있습니다.

따라서 사각 덕트 12m를 지날 때 발생하는 수두손실은 다음과 같습니다.

라플라스 변환 공식 모음

섭교수 — Sat, 15 Apr 2023 21:45:50 +0900

#라플라스변환

라플라스 변환과 관련된 공식과 라플라스 변환의 성질들을 모아놓은 글입니다.

출처 : Feedback Control of Dynamic Systems, Gene Franklin

(1) 라플라스 테이블

Feedback Control of Dynamic Systems, Gene Franklin

(2) 라플라스 변환의 성질

Feedback Control of Dynamic Systems, Gene Franklin

1. 중첩원리

2. t-shifting(t-이동정리)

3. 치환적분

4. s-shifting(s-이동정리)

5. f(t)의 미분

6. f(t)의 적분

7. 합성곱(convolution). F(s)G(s) 역변환 가능

8. 초깃값 정리(IVT)

9. 최종갑 정리(FVT) => 중요

10. f(t)g(t)의 적분

11. 파르스발 이론

12. F(s)의 미분

[열역학] 맥스웰 관계식, 열역학 관계식 예제

섭교수 — Mon, 3 Apr 2023 06:00:05 +0900

#열역학

Maxwell Relations

맥스웰 관계식은 네 가지 열역학 변수들에 대한 네 개의 관계식입니다.

Example

(예제 1) 다음 관계식을 이용하여 (∂T/∂v)s 를 유도하여라

먼저, 유도해야 하는 식에서 s가 일정하다고 하니 ds = 0입니다.

양변을 dv로 나누고 좌우변을 잘 정리하면 다음과 같이 원하는 관계식을 얻습니다.

문제의 요구사항과 어떤 변수가 상수인지를 먼저 확인하고 필요하다면 적절한 맥스웰 관계식을 사용해주어야 합니다.

(예제 2) 깁스 관계식 du = Tds - Pdv 와 맥스웰 관계식을 이용해 P,v,T로만 표현된 (∂u/∂P)T 를 유도하여라. 또한 이상기체에서 이 편도함수가 어떤 거동을 보이는지 확인하여라

먼저, 온도 T를 상수라 보고 주어진 식의 양변을 dP로 나눕니다.

우변에 s가 포함되어있으니 이 s를 P,v,T 중 하나의 변수로 바꿔주기 위해 맥스웰 관계식을 사용합니다.

마침 4번에 (∂s/∂P)T 가 포함되어 있으므로 이를 적용합니다.

이것이 이상기체인 경우를 생각해봅시다.

이상기체 상태 방정식 Pv = RT 를 위 식에 대입하여 정리합니다.

따라서 아래와 같은 결론을 얻습니다.

이것은 이상기체에서 온도가 일정할 때 압력변화에 의한 내부에너지 변화가 없다는 것을 의미합니다.

다른 말로는 내부에너지 u가 오직 온도T만의 함수라는 것입니다.

SUBORATORY

Fortran DNS 푸아송 솔버 성능 분석 및 최적화

개요: 코드의 목적과 접근 방식

코드 분석: 솔버 워크플로우

입력

계산 과정

출력

성능 병목: 어디가 느릴까?

1. FFT 라이브러리

2. 병렬화 모델의 한계

3. 메모리 접근 패턴

4. 하드웨어 활용

최적화 전략: 어떻게 빠르게 할까?

전략: 최신 FFT 라이브러리 교체

적용 방법

전략: MPI를 이용한 하이브리드 병렬화 도입

구현 과정

전략: GPU 가속화

권장 라이브러리

현대화 로드맵

Phase 1: 라이브러리 교체

Phase 2: MPI 도입

Phase 3: GPU 포팅

라플라스 변환 미분방정식 예제

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지배방정식(Governing Equation)

경계층 가정(Boundary Layer Assumptions)

유사 변환(Similarity Transformation)

운동량 방정식에 대입

경계 조건(Boundary Conditions)

해법과 결론(Solution and Conclusion)

[재료역학] 모어 원 그리는 법(Morh's Circle)

모어 원

모어 원 그리는 법

특이값 분해(Singular Value Decomposition; SVD) 예제

[선형대수학] 선형방정식, 연립방정식 예제

※2024-1 기말대비 모의고사 판매중입니다(3,900원)※

※2024-1 선형대수학 연립방정식 파트 모의고사 2회분 판매중입니다(3900원)※

[기계진동] 1차원 강제진동 - 감쇄모델

목차

1. 감쇄모델의 주요 변수

2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해

3. 전체 해(Total Response)

4. 결론 및 예제

1. 감쇄모델의 주요 변수

2. 1차원 강제진동 : 스프링-댐퍼-질량 시스템의 특수해

3. 전체 해(total response)

4. 결론 및 예제

(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system에 외력 F(t) = 200 cos 10t N이 작용하고 있다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

[기계진동] 1차원 강제진동 - 비감쇄모델

목차

1. 강제진동에 대해

2. 1차원 강제진동 : 스프링-질량 시스템의 해

3. 간소화된 공식

4. r값에 따른 해석(resonance)

5. 결론 및 예제

1. 강제진동에 대해

2. 1차원 자유진동 : 스프링-질량 시스템의 해

3. 간소화된 공식

4. r값에 따른 해석(resonance)

5. 결론 및 예제

​

​

(예제) k = 4000 N/m, m = 10 kg, c = 40 N·s/m 인 spring-mass-damper system 에 F(t) = 400cos10t N의 외력이 가해진다. 초기조건이 다음과 같을 때 x(t)를 구하여라

x(0) = 0, x'(0) = 10 m/s

[기계진동] 1차원 자유진동 - 감쇄모델

목차

1. 1차원 감쇄모델

2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

3. 결론과 예제

1. 1차원 감쇄모델

2. 1차원 자유진동 - 감쇄가 있는 경우의 해

Summary

3. Cylinderical, spherical coordinates

2. Jacobi Iteration